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diff-constraints.md

File metadata and controls

98 lines (72 loc) · 4.56 KB

author: Ir1d, Anguei, hsfzLZH1

定义

差分约束系统 是一种特殊的 $n$ 元一次不等式组，它包含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 以及 $m$ 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 $x_i-x_j\leq c_k$，其中 $1 \leq i, j \leq n, i \neq j, 1 \leq k \leq m$ 并且 $c_k$ 是常数（可以是非负数，也可以是负数）。我们要解决的问题是：求一组解 $x_1=a_1,x_2=a_2,\dots,x_n=a_n$，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

差分约束系统中的每个约束条件 $x_i-x_j\leq c_k$ 都可以变形成 $x_i\leq x_j+c_k$，这与单源最短路中的三角形不等式 $dist[y]\leq dist[x]+z$ 非常相似。因此，我们可以把每个变量 $x_i$ 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 $x_i-x_j\leq c_k$，从结点 $j$ 向结点 $i$ 连一条长度为 $c_k$ 的有向边。

注意到，如果 ${a_1,a_2,\dots,a_n}$ 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 $d$，${a_1+d,a_2+d,\dots,a_n+d}$ 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 $d$ 刚好被消掉。

过程

设 $dist[0]=0$ 并向每一个点连一条权重为 $0$ 边，跑单源最短路，若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，$x_i=dist[i]$ 为该差分约束系统的一组解。

性质

一般使用 Bellman–Ford 或队列优化的 Bellman–Ford（俗称 SPFA，在某些随机图跑得很快）判断图中是否存在负环，最坏时间复杂度为 $O(nm)$。

常用变形技巧

例题 luogu P1993 小 K 的农场

题目大意：求解差分约束系统，有 $m$ 条约束条件，每条都为形如 $x_a-x_b\geq c_k$，$x_a-x_b\leq c_k$ 或 $x_a=x_b$ 的形式，判断该差分约束系统有没有解。

题意 转化 连边
$x_a - x_b \geq c$ $x_b - x_a \leq -c$ add(a, b, -c);
$x_a - x_b \leq c$ $x_a - x_b \leq c$ add(b, a, c);
$x_a = x_b$ $x_a - x_b \leq 0, \space x_b - x_a \leq 0$ add(b, a, 0), add(a, b, 0);

跑判断负环，如果不存在负环，输出 Yes，否则输出 No。

??? note "参考代码" cpp --8<-- "docs/graph/code/diff-constraints/diff-constraints_1.cpp"

例题 P4926[1007] 倍杀测量者

不考虑二分等其他的东西，这里只论述差分系统 $\frac{x_i}{x_j}\leq c_k$ 的求解方法。

对每个 $x_i,x_j$ 和 $c_k$ 取一个 $\log$ 就可以把乘法变成加法运算，即 $\log x_i-\log x_j \leq \log c_k$，这样就可以用差分约束解决了。

Bellman–Ford 判负环代码实现

下面是用 Bellman–Ford 算法判断图中是否存在负环的代码实现，请在调用前先保证图是连通的。

???+ note "实现" === "C++" cpp bool Bellman_Ford() { for (int i = 0; i < n; i++) { bool jud = false; for (int j = 1; j <= n; j++) for (int k = h[j]; ~k; k = nxt[k]) if (dist[j] > dist[p[k]] + w[k]) dist[j] = dist[p[k]] + w[k], jud = true; if (!jud) break; } for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = h[i]; ~j; j = nxt[j]) if (dist[i] > dist[p[j]] + w[j]) return false; return true; } 

=== "Python"
    ```python
    def Bellman_Ford():
        for i in range(0, n):
            jud = False
            for j in range(1, n + 1):
                while ~k:
                    k = h[j]
                    if dist[j] > dist[p[k]] + w[k]:
                        dist[j] = dist[p[k]] + w[k]
                        jud = True
                    k = nxt[k]
            if jud == False:
                break
        for i in range(1, n + 1):
            while ~j:
                j = h[i]
                if dist[i] > dist[p[j]] + w[j]:
                    return False
                j = nxt[j]
        return True
    ```

习题

Usaco2006 Dec Wormholes 虫洞

「SCOI2011」糖果

POJ 1364 King

POJ 2983 Is the Information Reliable?