From 1bba1fed2613968b315c8aa0ba1e274cda2e61f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Javi Date: Wed, 16 May 2018 18:43:59 +0200 Subject: [PATCH] He hecho ACC hasta que la pereza ha podido conmigo --- "ACC/Ejercicios/Relaci\303\263n7.3.tex" | 284 ++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 284 insertions(+) create mode 100644 "ACC/Ejercicios/Relaci\303\263n7.3.tex" diff --git "a/ACC/Ejercicios/Relaci\303\263n7.3.tex" "b/ACC/Ejercicios/Relaci\303\263n7.3.tex" new file mode 100644 index 0000000..c323578 --- /dev/null +++ "b/ACC/Ejercicios/Relaci\303\263n7.3.tex" @@ -0,0 +1,284 @@ +\documentclass[twoside]{article} +\usepackage{../../estilo-ejercicios} + +%-------------------------------------------------------- +\begin{document} + +\title{Ejercicios de Ideals, Varieties, and Algorithms (4ª Edición)} +\author{Diego Pedraza López, Javier Aguilar Martín, Rafael González López} +\maketitle + +\begin{ejercicio}{7.3.1}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item Explain why $1 ∈ k[x^2]$ but $1 \not∈ +\gene{x^2}$. +\item Explain why $x^3 \not∈ k[x^2]$ but $x^3 ∈ +x^2$. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item $1 ∈ k[x^2]$ por definición de anillo de polinomios, ya que $1\in k$. $1 \not∈ +\gene{x^2}$ porque eso implicaría que existe un polinomio $f\in k[x]$ de modo que $f(x)x^2=1$, con lo que $x^2$ sería unidad, lo cual no es cierto. +\item Los polinomios de $k[x^2]$ son expresiones finitas de la forma $\sum_i a_i(x^2)^i$, por lo que todos los términos tienen grado par, por lo que $x^3 \not∈ k[x^2]$. Sin embargo, $x^3=x\cdot x^2$, por lo que $x^3 ∈ +x^2$. +\end{enumerate} +\end{solucion} + +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.2} +Let $G$ be a finite matrix group in $GL(n, k)$. Prove that the Reynolds operator $R_G$ has the +following properties: +\begin{enumerate}[a.] +\item If $a, b ∈ k$ and $f , g ∈ k[x_1, \dots, x_n]$, then $R_G(af + bg) = aR_G( f) + bR_G(g)$. +\item $R_G$ maps $k[x_1, \dots, x_n]$ to $k[x_1, \dots , x_n]^G$ and is onto. +\item $R_G \circ R_G = R_G$. +\item If $f ∈ k[x_1, \dots, x_n]^G$ and $g ∈ k[x_1, \dots , x_n]$, then $R_G( fg) = f R_G(g)$. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion} +Tengamos presenta la definición del operador de Reynolds +\[ +R_G( f )(x) = +\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f (A \cdot x) +\] +\begin{enumerate}[a.] +\item +\[ +R_G( af + bg )(x) = +\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}(af + bg) (A \cdot x)=a\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f (A \cdot x)+b\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}g (A \cdot x)=aR_G( f)(x) + bR_G(g)(x). +\] +\item Dada $B\in G$, +\[ +R_G( f )(Bx) = +\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f (A \cdot B x)=\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f ( A x) +\] +puesto que $AB$ recorre todas las matrices de $G$, así que a lo sumo cambia el orden en el que aparece cada término. + +Dado $g\in k[x_1, \dots, x_n]^G$, $g(x)=g(Ax)$ para toda $A\in G$, de modo que $g(x)=\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}g (A x)=R_G(g)(x)$, por lo que se tiene a sí mismo como preimagen. +\item Por el apartado anterior, $R_G$ envía $k[x_1, \dots, x_n]$ en $k[x_1, \dots, x_n]^G$ y es la identidad sobre este último, por lo que se tiene el resultado. +\item \[ +R_G( fg )(x) = +\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f (A \cdot x)g(A\cdot x)=\frac{1}{|G|}\sum_{A∈G}f (x)g(A\cdot x)=f(x)\sum_{A∈G}g(A\cdot x)=f(x)R_G(g)(x). +\] + +\end{enumerate} +\end{solucion} + +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.3} +In this exercise, we will work with the cyclic group $C_4 ⊆ GL(2, k)$ from Example 4 in +the text. +\begin{enumerate}[a.] +\item Prove that the Reynolds operator of $C_4$ is given by +\[ +R_{C_4} ( f )(x, y) = +\frac{1}{4} +( f (x, y) + f (−y, x) +f (−x,−y) + f (y,−x)). +\] +\item Compute $R_{C_4}(x^iy^j)$ for all $i + j ≤ 4$. Note that some of the computations are done in +Example 4. You can check your answers against the table in Example 6. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item El grupo $C_4$ está formado por las matrices +\[ +\begin{pmatrix} +0 & -1\\ +1 & 0 +\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} +-1 & 0\\ +0 & -1 +\end{pmatrix},\begin{pmatrix} +0 & 1\\ +-1 & 0 +\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} +0 & 1\\ +1 & 0 +\end{pmatrix}. +\] +Con esto y con la definición del operador de Reynolds el resultado se sigue inmediatamente. +\item Están hechos en la página 368 del libro. +\end{enumerate} + +\end{solucion} + + +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.4} +We will use +the multinomial coefficients, which are defined as follows. For $α = (α_1, \dots , α_n) ∈ \Z^n_{≥0}$, +let $|α| = m$ and define +\[ +\binom{m}{α} += +\frac{m!}{α_1!α_2! \cdots α_n!}. +\] +\begin{enumerate}[a.] +\item Prove that $\binom{m}{\alpha}$ +is an integer. Hint: Use induction on $n$ and note that when $n = 2$, $\binom{m}{\alpha}$ +is a binomial coefficient. + +\item Prove that +\[ +(x_1 + \cdots + x_n)^m = +\sum_{|α|=m}\binom{m}{α}x^α. +\] +In particular, the coefficient $a_α$ in equation (2) is the positive integer $\binom{m}{α}$. Hint: Use +induction on $n$ and note that the case $n = 2$ is the binomial theorem. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item Para $n=1$ tendríamos el número 1. Para $n=2$ se trata del coeficiente binomial, pues tenemos $\frac{m!}{α_1!α_2!}$ con $\alpha_2=m-\alpha_1$, por lo que es entero. Supongámoslo cierto para $n-1$, es decir, es cierto para $|\alpha|=\alpha_1+\cdots\alpha_{n-1}=m$. Entonces, dado $\alpha_n\in\Z$, +\[ +\binom{m+\alpha_n}{\alpha\cup \alpha_n}=\frac{(m+\alpha_n)!}{α_1! \cdots \alpha_{n-1}!α_n!}=\frac{(m+\alpha_n)\cdots(m+1)}{\alpha_n!}\frac{m!}{α_1! \cdots \alpha_{n-1}!}=\binom{m+\alpha_n}{\alpha_n}\binom{m}{\alpha}\in\Z +\] +\item Para $m=1$ y para $n=1$ es trivial. Para $n=2$ tenemos justamente el teorema del binomio. Supongamos el resultado cierto para $n-1$. Entonces +\begin{gather*} +(x_1 + \cdots+x_{n-1} + x_n)^m=((x_1 + \cdots+ x_{n-1})+ x_n)^m=\sum_{k=0}^m (x_1\cdots x_{n-1})^{m-k}x_n^k=\sum_{|\alpha|=m}x^\alpha +\end{gather*} + + +\end{enumerate} +\end{solucion} +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.2.5} + +\end{ejercicio} +\begin{solucion} + +\end{solucion} +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.6} +If we have two finite matrix groups $G$ and $H$ such that $G ⊆ H ⊆ GL(n, k)$, prove that +$k[x_1, \dots , x_n]^H ⊆ k[x_1, \dots , x_n]^G$. +\end{ejercicio} +\begin{solucion} +Dado $f\in k[x_1, \dots , x_n]^H$, $f(Ax)=f(x)$ para toda $A\in H$. En particular, para $A\in G$. +\end{solucion} +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.7} +Consider the matrix +$$A = +\begin{pmatrix} +0 &−1\\ +1 &−1 +\end{pmatrix}∈ GL(2, k).$$ +\begin{enumerate}[a.] +\item Show that $A$ generates a cyclic matrix group $C_3$ of order 3. +\item Use Theorem 5 to find finitely many homogeneous invariants which generate $k[x, y]^{C_3}$. +\item Can you find fewer invariants that generate $k[x, y]^{C_3}$? Hint: If you have invariants +$f_1, \dots , f_m$, you can use Proposition 7 to determine whether $f_1 ∈ k[ f_2, \dots , f_m]$. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item +\[ +A^2=\begin{pmatrix} +-1 & 1\\ +-1 & 0 +\end{pmatrix}, A^3=I. +\] +\item Como el grupo tiene orden 3, tenemos que calcular $R_{C_3}(x^iy^j)$ para todo $1\leq i+j\leq 3$. +\begin{align*} +R_{C_3}(x)=\frac{1}{3}(-y+y-x+x) \Rightarrow &0\\ +R_{C_3}(x^2)=\frac{1}{3}((-y)^2+(y-x)^2+x^2)\Rightarrow & 2x^2-2xy+2y^2\\ +R_{C_3}(x^3)=\frac{1}{3}(-y^3+(y-x)^3+x^3)\Rightarrow & 3x^2y-3y^2\\ +R_{C_3}(y)=\frac{1}{3}(x-y-x+y)\Rightarrow & 0\\ +R_{C_3}(y^2)=\frac{1}{3}((x-y)^2+x^2+y^2)\Rightarrow & 2x^2+2y^2-2xy\\ +R_{C_3}(y^3)=\frac{1}{3}((x-y)^3-x^3+y^3)\Rightarrow &-3x^2y+3xy^2\\ +R_{C_3}(xy)=\frac{1}{3}()\\ +R_{C_3}(x^2y)=\frac{1}{3}()\\ +R_{C_3}(xy^2)=\frac{1}{3}()\\ +\end{align*} +TERMINARLO O HACER UN PROGRAMA EN SAGE +\end{enumerate} + + +\end{solucion} +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.8} +Let $A$ be the matrix of Exercise \ref{ejer:7.3.7}. +\begin{enumerate}[a.] +\item Show that $−A$ generates a cyclic matrix group $C_6$, of order 6. +\item Show that $−I_2 ∈ C_6$. Then use Exercise \ref{ejer:7.3.6} and §2 to show that $k[x, y]^{C_6} ⊆ k[x^2, y^2, xy]$. +Conclude that all nonzero homogeneous invariants of $C_6$ have even total degree. +\item Use part (b) and Theorem 5 to find $k[x, y]^{C_6}$. Hint: There are still a lot of Reynolds +operators to compute. You should use a computer algebra program to design a procedure +that has $i, j$ as input and $R_{C_6} (x^iy^j)$ as output. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item +\item +\item +\end{enumerate} +\end{solucion} + +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.9} + +\end{ejercicio} +\begin{solucion} +\end{solucion} +\newpage + +\begin{ejercicio}{7.3.10} +Consider the finite matrix group +\[ +G = +\left\{\begin{pmatrix} +±1& 0 &0\\ +0 &±1 &0\\ +0 &0 &±1 +\end{pmatrix} +\right\} +⊆ GL(3, k). +\] +Note that $G$ has order 8. +\begin{enumerate}[a.] +\item If we were to use Theorem 5 to determine $k[x, y, z]^G$, for how many monomials would +we have to compute the Reynolds operator? +\item Use the method of Example 12 in §2 to determine $k[x, y, z]^G$. +\end{enumerate} + +\end{ejercicio} +\begin{solucion}\ +\begin{enumerate}[a.] +\item $9+8+7+6+5+4+3+2=44$. +\item +\end{enumerate} +\end{solucion} +\newpage + + +\begin{ejercicio}{7.3.11} +Let $f$ be the polynomial (4) in the text. +\begin{enumerate}[a.] +\item Verify that $f ∈ k[x, y]^{C_4} = k[x^2 + y^2, x^3y − xy^3, x^2y^2]$. +\item Use Proposition 7 to express $f$ as a polynomial in $x^2 + y^2$, $x^2y − xy^3$, $x^2y^2$. +\end{enumerate} +\end{ejercicio} +\begin{solucion} +El polinomio en cuestión es $$f (x, y) = x^8 + 2x^6y^2 − x^5y^3 + 2x^4y^4 + x^3y^5 + 2x^2y^6 + y^8.$$ +\begin{enumerate}[a.] +\item Se tiene $f(x,y)=f(-y,x)=f(-x,-y)=f(y,-x)$, que es por definición ser invariante por $C_4$. +\item +\end{enumerate} +\end{solucion} + + +\end{document} +