Программа, приблизительно вычисляющая значение собственного определенного интеграла методом Гаусса-Кронрода

Выполнили студенты Университета ИТМО Лазеев Сергей, Сущенко Роман, Рахматуллин Рамазан, Бусыгин Дмитрий

---

Цель работы: разработка программы, численно находящей значение определенного интеграла от достаточно гладкой функции

Используемые технологии

• Язык программирования Julia

---

Применение программы и ее преимущество перед ручным подсчетом

Метод Гаусса подразумевает выражение определенного интеграла как сумму произведений некоторых коэффициентов (узлов и весов интегрирования). Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности или формулы Гаусса (см. ниже) выражают значение определенного интеграла с высокой точностью за счет выбора большого количества этих узлов. Как раз для того, чтобы найти наиболее точное значение интеграла, мы реализуем программу, т.к. при достаточно большом кол-ве узлов вычисления вручную становятся слишком трудоемкими.

Формула Гаусса:

Вычисление весов и узлов производится с помощью полинома Лежандра (подробнее)

Выбор параметра n зависит от желаемой точности вычисления (обычно выбирают n сравнимое со степенью функции, если это возможно).

Дополнительная сложность состоит в том, что для подсчета интегралов с другими границами интегрирования данная формула не работает. На помощь приходит формула изменения границ интегрирования:

Объединяя объявленные формулы, можно добиться численного значения интеграла.

---

Использование метода Кронрода

Метод Кронрода расширяет метод Гаусса и предлагает после подсчета с количеством узлов n выполнить те же действия с 2n+1. При достаточно сложных подынтегральных функциях это имеет смысл. Также данный метод дает возможность оценить погрешность вычислений по методу Гаусса по следующей формуле:

---

Алгоритм работы с программой

1. Установить компилятор Julia на Ваш ПК с официального сайта
2. Скачать директорию src с кодом проекта
3. Открыть директорию с помощью какого-либо текстового редактора или IDE (например Atom)
4. Запустить файл main.jl и следовать указаниям программы
5. Подписаться на GitHub авторов ❤️

---

Источники:

• Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов,— М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989
• Wikipedia.org - Gauss–Kronrod quadrature formula
• Wikipedia.org - Legendre_polynomials
• Wikipedia.org - Gaussian_quadrature
• Wiki-wiki.ru - Работа с многочленами Лежандра
• JuliaLib - Gauss–Kronrod quadrature
• Hmong.press - Квадратура Гаусса-Кронрода
• julialang.org - Julia syntax
• Solving non-linear systems of equations in Julia.