-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 174
/
Copy pathmain.tex
250 lines (207 loc) · 11.7 KB
/
main.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
\include{head}
\begin{document}
\begin{center}
\LARGE{Работа 1.2.1}\\[0.2cm]
\LARGE{Определение скорости полета пули при помощи баллистического маятника}\\[0.2cm]
\large{Малиновский Владимир}\\[0.2cm]
\normalsize{\texttt{galqiwi@galqiwi.ru}}
\end{center}
\textbf{Цель работы:} определить скорость полета пули, применяя законы созранения и используя баллистические маятники.
\textbf{В работе используются:} духовое ружье на штативе, осветитель, оптическая система для измерения отклонений маятника, измерительная линейка, пули и весы для их взвенивания, а также баллистические маятники.
\section{Метод баллистического маятника, совершающего поступательное движение}
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{cc}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{prop-1.png}&
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{prop-2.png}\\
\text{рис. 1, схема установки} & \text{рис. 2, поведение баллистического маятника}\\
&\text{при попадании в него пули.}
\end{array}$
\end{center}
\end{figure}
В этой части используется установка, изображенная на рис. 1. Если масса маятника равна $M$, то скорость системы маятник-пуля сразу после попадания маятника равна
\begin{equation}
v_0 = \frac{m}{M + m}v.
\end{equation}
У маятника угловая скорость $\omega = \sqrt{g/L}$. Если у него амплитуда $A$, то верно, что
\begin{equation}
A \omega = v_0.
\end{equation}
Из этого скорость выражается, как
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{g}{L}}\frac{M+m}{m}A.
\end{equation}
\newpage
\subsection{Результаты и обработка}
Массы пулек:
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
m\text{, г} & 0.5128 & 0.5110 & 0.5120 & 0.5160 & 0.5090 & 0.5174 & 0.5039 & 0.5172 & 0.5083 & 0.5000 \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\caption*{$\Delta m = 0.001\text{г}$}
\end{figure}
$L = (2208\pm10)$ мм, $M=(2900\pm5)$ г.
Амплитуды и соответствующие скорости:
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
A\text{, мм} & v\text{, м/c} \\
\hline
12.2\pm0.2 & 145\pm3 \\
\hline
12.2\pm0.2 & 146\pm3 \\
\hline
12.2\pm0.2 & 146\pm3 \\
\hline
12.2\pm0.2 & 145\pm3 \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\end{figure}
Усредняя, получаем $<v>=(146\pm3)\text{, м/c}$.
\section{Метод крутильного баллистического маятника}
В этом методе используется установка, изображенная на рис. 3.
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{c}
\includegraphics[width=0.73\textwidth]{rot.png}\\
\text{рис. 3, крутильный баллистический маятник.}
\end{array}$
\end{center}
\end{figure}
\newpage
Сразу после попадания пули в мишень, система пуля-мишень будет двигаться с угловой скоростью $\Omega$ такой, что
\begin{equation}
m v r = I \Omega,
\end{equation}
где $I$ -- момент инерции систему пуля-мишень.\\
Если $k$ -- модуль кручения проволоки, то из закона сохранения энергии следует, что
\begin{equation}
k \frac{\varphi^2}{2} = I \frac{\Omega^2}{2},
\end{equation}
где $\varphi$ -- амплитуда колебаний маятника после выстрела.
Из уравнений (4) и (5) можно найти скорость $v$ по амплитуде $\varphi$.
\begin{equation}
v = \varphi \frac{\sqrt{kI}}{mr}.
\end{equation}
Есть два метода расчета $\varphi$ -- простой и сложный.
\begin{equation}
\varphi_s = \frac{|x_0 - x_1|}{d}, \varphi_h = |atan(\frac{x_0}{d}) - atan(\frac{x_1}{d})| / 2.
\end{equation}
Если система колебается с периодом $T$, то верно, что ее момент инерции равен:
\begin{equation}
I = \frac{k}{4\pi^2}T^2.
\end{equation}
Если грузов на маятнике нет, то момент инерции системы обозначим за $I_0$. Если есть, то он равен
\begin{equation}
I = I_0 + 2 \Delta I + 2 M R^2,
\end{equation}
Где $M$ -- масса одного груза, a $\Delta I$ -- момент инерции груза относительно вертикальной оси, проходящей через его центр.
\subsection{Результаты и обработка}
Данные для момента инерции
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
R\text{, мм} & R^2\text{, м$^2$} & T_5\text{, c} & T_5\text{, c} & T\text{, c} & T^2\text{, c$^2$} & \Delta T\text{, c} & \Delta T^2\text{, c$^2$}\\
\hline
0^* & 0^* & 38.66 & 38.60 & 7.726 & 59.7 & 0.2 & 0.6\\
\hline
329 & 0.108 & 56.03 & 56.54 & 11.26 & 126.7 & 0.2 & 0.9\\
\hline
303 & 0.0918 & 53.68 & 54.22 & 10.79 & 116.4 & 0.2 & 0.9\\
\hline
273 & 0.0745 & 51.34 & 51.56 & 10.29 & 105.9 & 0.2 & 0.8\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\caption{*без учета момента инерции грузов}
\end{figure}
Из линейности графика на рис. 4, следует, что $\Delta I << I$, то есть собственный момент инерции грузов меньше погрешности измерения момента инерции.\\
Из МНК следует, что
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{4\pi^2}{k}I_0 =(59.68\pm0.13)\text{с}^2 \\
\displaystyle \frac{4\pi^2}{k}2M = (620\pm2)\text{с}^2/\text{м}^2.\\
\end{cases}
\end{equation}
\newpage
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{c}
\includegraphics[width=1\textwidth]{inertia.png}\\
\text{рис. 4, график зависимости $T^2$ от $R^2$.}\\
\end{array}$
\end{center}
\end{figure}
Из уравнений (10) можно найти $k = (0.0929\pm0.0003) \text{ кг$\cdot$м$^2/$c$^2$}$.
\begin{equation}
v = \varphi \frac{\sqrt{kI}}{mr} = \varphi \frac{kT}{2\pi mr}.
\end{equation}
\newpage
Амплитуды и скорости:
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_0\text{, см}&\Delta x_0\text{, см}& x_1\text{, см}& m\text{, г}& T\text{, с}& \varphi_s & \varphi_h & v_s\text{, м$/$с} & v_h\text{, м$/$с}\\
\hline
7.2& 0.4& -0.1& 0.5090& 7.73& 0.113\pm0.008& 0.114\pm0.008& 126\pm10& 127\pm10\\
\hline
7.2& 0.4& -0.1& 0.5174& 7.73& 0.113\pm0.008& 0.114\pm0.008& 124\pm10& 125\pm10\\
\hline
4.9& 0.3& -0.4& 0.5039& 11.26& 0.083\pm0.007& 0.083\pm0.007& 136\pm12& 136\pm12\\
\hline
6.6& 0.2& 0.2& 0.5172& 10.79& 0.100\pm0.005& 0.101\pm0.006& 153\pm9& 154\pm10\\
\hline
7.5& 0.1& 1.0& 0.5083& 10.29& 0.102\pm0.004& 0.103\pm0.005& 151\pm7& 152\pm8\\
\hline
7.5& 0.2& 1.3& 0.5000& 10.29& 0.097\pm0.005& 0.098\pm0.006& 146\pm9& 148\pm10\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\caption{$\Delta x_1 = 0.05\text{ см}$, $d = (32\pm0.5)\text{ см}$.}
\end{figure}
Во 2 методе получается значение
$<v> = (140 \pm 11)\text{м/c}$.
При том, что $<v_s> = (139 \pm 11)\text{м/c}$.
В моей работе значения скоростей, полученные двумя разными методами, сходятся:
\begin{equation}
v_0 = (146 \pm 3)\text{м/c}, v_1 = (140 \pm 11)\text{м/c}.
\end{equation}
При этом я слышал, что у других людей на 2 установке получались значения скорости больше, чем на первой. Виной этому точно не неучет собственного момента инерции грузов в лабнике, поскольку во второй части у меня получилось, что он слишком мал. Также это не может происходить из-за приближения тангенса линейной функцией во 2 пункте, у меня отклонение финального ответа при линейном приближении получилось меньше процента от честного. Данный эффект может происходить из-за:
\begin{enumerate}
\item \text{Трения о воздух}
\item \text{Того, что по-настоящему этого эффекта нет -- все говорят, что он есть, но,}\\\text{честно промерив, его никто не получил, возможно, даже,}\\\text{некоторые студенты подогнали свои значения так, что этот эффект}\\\text{специально начал проявляться, что укрепило миф.}
\item \text{какой-то другой эффект, который не пришел мне в голову.}
\end{enumerate}
Рассмотрим трение о воздух. Диаметр пули равен $4.5\text{ мм}$, расстояние до цели порядка $80\text{ см}$ на различных установках, скорость пули порядка $140\text{ м$/$с}$. Посмотрим, насколько пуля замедлится.\\
Если брать квадратичную зависимость ($F=C_f\displaystyle \frac{\rho v^2}{2}S$) силы трения от скорости, то на пулю действует сила в $153\text{ мН}$, если считать пулю цилиндром. При массе в $0.5\text{ г}$, пуля успеет замедлиться на $1.7\text{ м/c}$ за это время. Поскольку порядок вариации расстояния от конца ствола до мишени -- $10\text{ см}$, что в 8 раз меньнше, получим вариацию в $0.2\text{ м/c}$ по скорости, что много меньше погрешности. Это не трение.
\section{Вывод}
Я получил значение скорости пули двумя методами -- методом баллистического маятника и методом крутильного маятника. Значения скорости совпали с точностью до погрешности. Физического объяснения того, что у других студентов получаются разные значения я не нашел, хотя рассмотрел три варианта: неучет момента инерции грузов, неучет нелинейности тангенса при расчете амплитуды отклонения и неучет силы трения о воздух.
\end{document}
\lipsum[1-4]
\begin{wrapfigure}{R}{5cm}
\centering
\includegraphics[width=0.20\textwidth]{rd.png}
\caption{1}
\end{wrapfigure}
\lipsum[1-6]
\begin{figure}[h]
\begin{center}$
\begin{array}{cccc}
\includegraphics[width=0.20\textwidth]{rd.png}&
\includegraphics[width=0.20\textwidth]{rd.png}&
\includegraphics[width=0.20\textwidth]{rd.png}&
\includegraphics[width=0.20\textwidth]{rd.png}\\
(1) & (2) & (3) & (4)
\end{array}$
\end{center}
\end{figure}