高中物理.md

# 高中物理

# 学习

> 选择题1-2分钟，计算题7-8分钟，时间到没做完一定是有问题：方法，思路，计算/细节问题



量纲分析，单位分析



公式：

* 矢量式：正负表示方向
* 标量式：正负表示物理意义



# 基本概念

> 基本物理量：
>
> 长l m
>
> 质量m kg
>
> 时间t s
>
> 温度 K
>
> 光强 cd
>
> 电流 A
>
> 物质的量 mol



> 力的突变：
>
> * 可以突变：绳断时力可以
>
> * 不能突变：弹簧力，位置
>
> 速度介于两者之间，绝大多数不能突变



## 左力右感

左：

* 安培力
* 洛伦兹力

右手螺旋：电生磁 

右手定则：磁生电



# 图像

> vt图面积：位移
>
> fx图面积：功
>
> Ft图：F不变：匀加速，F变负：a方向改变
>
> * 面积：I冲量

# 思想/方法

动力学问题解决方法：

* 牛顿定律：F=ma（恒力）
* 动能关系（空间F，x关系，力在空间上的积累是做功）
  * $W=△E_k$
  * 机械能守恒
* 动量关系（F，t关系，力在时间上的积累）



## 有效数字和误差

数据的处理：

* 列表法
* 图像法
* 公式法



仪器的使用：大概18种仪器

* 力学：卡尺，千分尺要会读
* 电学：电流表，电压表
* 没有估读的：游标卡尺，秒表



# 运动的描述

## 质点 参考系和坐标系

机械运动：物体的空间位置随时间的变化。基本形式：平移和转动（转动不可以处理成质点）

质点：代替物体的具有质量的物质点。当物体大小，形状对研究的问题没有影响或影响很小时，可以将物体视为质点。

参照物→参考系：描述一个物体的运动时，选择作为参考的另外的物体。参照物，没说明就是地面为参照物



时刻：时间点

时间：时间段



## 时间和位移

| 物理量 | 意义                                               | 标量/矢量 |
| ------ | -------------------------------------------------- | --------- |
| 路程   | 物体运动轨迹的长度                                 | 标量      |
| 位移   | 物体（质点）的位置变化，从初位置到末位置的有向线段 | 矢量      |

路程≥位移



标量：只有大小，没有方向的物理量。

矢量：既有大小，又有方向的物理量。运算：平行四边形定则。

> 平均速度：$\overline v=\frac{△x}{△t}$
>
> 速率：瞬时速度的大小
>
> 平均速率：$\overline v_{速率}=\frac s{△t}$，路程和时间的比值：总路程/总时间

> 匀速直线运动：a=0
>
> 匀变速直线运动：a不变（a与v同直线）
>
> 非匀变速直线运动：a=0时，速度最大



## 速度

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

### 平均速度和瞬时速度

瞬时速度：物体在某一时刻/位置的速度。如果 $\Delta t$ 非常小，接近于0，则 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 就是该时刻的瞬时速度



匀速直线运动中，平均速度=瞬时速度



## 加速度：描述物体速度变化快慢的物理量

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}$

单位： $m/s^2$

矢量

> a其他说法：
>
> 速度变化率
>
> 速度变化快慢

> a减小的加速直线运动，a=0时v最大



# 匀变速直线运动

>  a,v：
>
> 同向加速
>
> * **a↓的加速直线运动**，a=0时，v最大
> * a↑的加速直线运动
>
> 反向减速
>
> * a↓的减速直线运动
> * a↑的减速直线运动



* a,v0,v,t,x知三求**二**，缺1，缺什么用什么公式

* 只知道2个量：漏掉1个或者需要列方程组

| 公式                     | 缺    |
| ------------------------ | ----- |
| $v=v_0+at$               | x     |
| $x=vt-\frac 1 2at^2$     | $v_0$ |
| $x=v_0t+\frac 1 2at^2$   | $v_t$ |
| $x=\frac{v_0+v}{2}t$     | a     |
| $x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$ | t     |



## 中点速度

### 时间中点速度

$v_{\frac t 2}=\overline v = \frac{v_0+v_t}2=\frac x t$

x/t任何情况都行，(v0+v)/2仅适用匀变速直线

### 位移中点速度：位移中间位置的瞬时速度

$v_\frac x 2=\sqrt{\frac{v_t^2+v_0^2}2}$



$v_{\frac t 2}<v_\frac x 2$



## 匀变速直线运动的推论

连续相等时间的位移之差：$x_{i+1}-x_i=△x=aT^2$

## 初速度为0的匀加速直线运动的推论

1T末，2T末速度之比：1:2:3

1T内，2T内位移之比：1:4:9



**静止开始的匀变速直线运动相等时间的位移比**：1:3:5:7

静止开始通过连续相等的位移所用时间之比：$1:\sqrt{2}-1:\sqrt{3}-\sqrt{2}$

1x内，2x内，时间之比：$1:\sqrt 3:\sqrt 5$



## 匀变速直线运动速度和时间的关系

匀变速直线运动：沿着一条直线，且加速度不变的运动



匀加速直线：速度随时间均匀增大，a与v同向

匀减速直线：速度随时间均匀减小，a与v反向



$v=v_0+at$（v：末速度。$v_0$：初速度 a：加速度）



## 匀变速直线运动位移和时间的关系

### 匀变速直线运动的位移

$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$



**特殊形式：**

1. a=0时，匀速直线运动
2. $v_0=0$时，由静止开始的匀加速直线运动

## 匀变速直线运动速度和位移的关系

$v^2 - v_0^2 = 2ax$

仅适用于匀变速直线运动



## 自由落体运动

只在重力作用下从静止开始下落的运动。



条件：初速度为0，加速度为$g=10m/s^2$

速度：v=gt

位移：$h = \frac{1}{2}gt^2$

位移与速度的关系：$v^2 = 2gh$

平均速度：$\bar{v}=\frac{v}{2}=\frac{1}{2}gh$

推论：$\Delta h = gT^2$



### 竖直上抛运动

加速度始终为重力加速度g，是匀变速直线运动



#### 竖直上抛运动分段处理法

分为上升过程和下落过程

* 上升过程：初速度$v_0$竖直向上，加速度g竖直向下，末速度0的匀减速直线运动
* 下降过程：自由落体运动



速度：$v=v_0-gt$

位移：$h = v_0t-\frac{1}{2}gt^2$

$-2gh=v^2-v_0^2$

$h = \frac{v_0+v}{2}t$



$t=\frac{v_0}{g}$

最大高度：H=$\frac{v_0^2}{2g}$



#### 竖直上抛运动的对称性

物体上升到最高点与落到抛出点所用时间相同

上升过程与下落过程经过空间某点的速度大小相等，方向相反

上升过程中经过两点所用时间与下落过程中经过这两点所用时间相同



## 平抛

匀变速曲线运动

水平方向是匀速直线运动，位移$x=v_0t=v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

竖直方向是自由落体运动，位移$y=\frac 1 2 gt^2$

抛物线曲线方程：$y=\frac{g}{2v_0}x^2$



水平方向和竖直方向两个分运动等时，运动时间由自由落体运动时间决定，$t=\sqrt{\frac{2h}g}$，与抛出时的初速度无关





## 题型

### 纸带/打点计时器问题

配套仪器：交流电源，开关，导线，纸带，刻度尺

端点瞬时速度：$V_A=\frac{3s_1-s_2}{2T}$（证明：延长一段/中点速度公式/加速度）



中间某点速度=相邻两段平均速度：$v=\frac{x_1+x_2}{2t}$



计算加速度：$△x=naT^2$（n：末的角标和-初的角标和，△x要对应。如果前后段数不一样，中间一段舍去）



小车方向和纸带方向：

* 打点计时器：相反

* 滴水计时器：相同



### 图像问题

> x-t图像：斜率，交点
>
> v-t图像：斜率k，面积，截距
>
> 图像是解决追赶与相遇问题最容易，最简单，最直观的方法

**矢量比大小只看绝对值，标量比大小先看正负号**



![](media/physics/v-t.jpg)

0-t：v<0,a>0，速度减小的加速运动，相当于从原点反方向做匀减速运动

t-2t：v>0,a>0，正方向匀加速

0-2t位移：下方是反方向位移，上方是正方向位移



### 追及与相遇

最简单的方法：v-t图

关键关系：x，t，v



匀加速追匀速：

* S=L：距离最远



匀减速追匀速： 

* S=L：临界：相遇1次，距离最近
* S<L：不相遇
* S>L：相遇2次



匀速追匀加速：

* S=L：临界：距离最近

* S<L：追不上

* S>L：相遇两次



> 基本套路：共速点解相遇
>
> 共速位移差<初始距离 0次
>
> 共速位移差=初始距离 1次
>
> 共速位移差>初始距离 2次

> 知道两物体距离，初速度，加速度
>
> 列方程，为t的二次方程，看根，去掉小于0的根或者数字太大的正根。几个正确解就相遇几次
>
> $(v_2t+\frac 1 2a_2t^2)-(v_1t+\frac 1 2 a_1 t^2)=s_0$



两次相遇时刻推论，匀变追匀变且相遇两次（其中一个匀速也行）：$t_1+t_2=2t_{共}$ 两次相遇时刻加起来=2倍共速时刻



### 平均速度转瞬时速度

**思路一般是：没a求a**



物体静止开始匀加速，7s内平均速度2.6m/s，物体4s通过的位移？

> 根据vt图，平均速度=中间时刻瞬时速度



题目平均速度的出现形式：

* 直接给
* 第n秒的位移
* 某段时间的位移



物体静止开始匀加速，第4s内与第2s内位移差12m，则物体第1s内位移是？

> v=v0+at
>
> x2=x1+2a
>
> a=6





### 两段运动的0-v-0模型

$\frac{a1}{a2}=\frac{t2}{t1}=\frac{x2}{x1}$

总位移（三角形面积）：x=1/2vt（v：最大速度，t：总时间）



# 相互作用

## 重力 基本相互作用

力：物体之间的相互作用。单位牛，符号N。

作用**效果**：使物体发生形变；改变物体的运动状态，即产生加速度

性质：

* 力不能脱离物体独立存在：有力就一定存在施力物体和受力物体

* 相互性：作用力，反作用力。任何两个物体之间的作用是相互的，施（受）力物体也是受（施）力物体

* 矢量性：有大小，方向
* 独立性：几个力作用在同一个物体上，每个力对物体的作用效果均不会因为其他力的存在而改变

> 相互作用：
>
> * 万有引力
> * 电磁相互作用
> * 弱相互作用
> * 强相互作用



力按命名方式的不同的分类：

* 按效果：压力，拉力，推力等
* 按性质：重力，弹力，摩擦力等



力的三要素：大小，方向，作用点



### 力的图示和力的示意图

力的图示：用带箭头的线段表示，线段长短表示力的大小，线段指向表示力的方向，箭头和箭尾表示力的作用点，线段所在直线叫力的作用线。

力的示意图：只需画出力的作用点和方向。



## 重力

> 重力是万有引力的一部分，重力和万有引力不相等

产生：地球吸引。重力是地球的吸引而使物体产生的力。施力物体是地球。方向总是竖直向下，和水平面垂直，不一定和接触面垂直，不一定指向地心。

特点：

* 大小：G=mg（重力加速度$g=9.8m/s^2$）
* 方向：竖直向下
* 作用点：重心



重力G的大小跟物体质量m成正比。重力与其他外力无关，与运动状态无关，不是接触力。



重心位置：

* 物体重心不一定在物体上。质量分布均匀，形状规则的物体重心在几何重心上。 

* 质量分布不均匀，形状不规则的薄板物体可以用悬挂法确定重心。



## 弹力（$N，F_N$）

### 弹性形变

本质是电磁的相互作用

弹性：恢复形变的能力

形变：物体在力的作用下形状或体积发生改变。

弹性形变：物体在形变后撤去作用力时能恢复原状。

弹性限度：外力使物体在形变过程中，超过一定限度，在撤掉外力后，形变不能完全恢复。

### 弹力

弹力：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，与对它接触的物体会产生力的作用。

弹力产生条件：

* 物体间直接接触/挤压
* 接触处发生弹性形变。比如拉力，压力，支持力

弹力方向：与物体形变的方向相反。

弹力大小：恢复形变能力的大小

分类：

* 微小形变：$F_N$。大小：没计算公式，根据其他受力情况计算。方向：垂直于接触面。细绳只有拉伸形变，弹力方向只能沿着细绳指向收缩方向
* 弹簧形变：形变明显



判断弹力有无：

* 撤离法/假设法：将与研究对象的物体撤去，看研究对象能否保持原来的状态。若不能则有弹力。
* 状态法：根据物体的运动状态，由平衡条件（或牛顿第二定律）进行判断。



> 不管圆的重心在圆心上方还是下方，点和圆心的弹力始终过圆心，而不是重心

> 压力和支持力是相互作用力,因为它们是作用于不同物体的两个力；重力和支持力是平衡力,因为它们作用于同一物体

### 胡克定律

内容：弹簧发生弹性形变时，弹力大小F跟弹簧伸长或缩短的长度x成正比。

表达式：F=kx（x：弹簧形变量。k：劲度系数）

单位：牛顿每米，符号N/m.



#### 题型：弹簧串联并联

并联：力相同

$k_并x=k_1x+k_2x$

$k_并=k_1+k_2$



串联：

$ x_1+x_2=x$

$\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}=\frac{F}{k_串}$



## 摩擦力

摩擦力：两个相互接触的物体，发生相对运动或具有相对运动的趋势时，在接触面上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力。

条件：

* 接触
* 挤压
* 粗糙（不光滑。光滑：μ=0）
* 相对运动（趋势）



分类：

* 静摩擦：平衡看大小。方向：和相对运动趋势相反。默认最大静摩擦=滑动摩擦

* 最大静摩擦：$f_m=μ_mN$

* 滑动摩擦：$f=μN$。

  方向：与相对运动方向相反，不是与运动方向相反（阻碍相对运动），与物体加减速无关

* 滚动摩擦f≈0​

> 运动方向：相对地面
>
> 相对运动方向：相对接触的物体 



> 传送带上的物体：滑动摩擦方向：和传送带方向相同。传送带阻碍物体向后运动（摩擦力也可以是动力），物体速度<传送带速度时，物体相对传送带向左，摩擦力向右
>
> 自行车：后轮是静摩擦
>
> > 汽车，一般是前轮驱动
> >
> > 主动轮：提供动力，轮子相对地面向后走，静摩擦力，方向向前
> >
> > 从动轮：地面给的摩擦力向前，滑动摩擦力，向后
>
> 走路，后腿蹬地，摩擦力向前；前腿，摩擦力向后
>
> 斜面上物体
>
> * 静止：静摩擦力沿斜面向上
> * 运动：滑动摩擦力方向和运动方向相反
>
> 平面两物体叠放：拉动下物体，上物体和下物体没有摩擦
>
> 斜面上两物体叠放，拉动下面物体沿斜面向下，上面物体滑动摩擦方向：沿斜面向上



**摩擦力目的：保持共速**

**区分摩擦力，共速：静摩擦力；不共速：滑动摩擦力**



### 静摩擦力

定义：两个物体只有相对运动的趋势，没有相对运动时的摩擦力。



方向：沿着接触面，跟物体相对运动趋势相反。

大小：$0<F≤F_{max}$($F_{max}$:最大静摩擦力，大小与正压力成正比)

### 滑动摩擦力

定义：一个物体在另一个物体表面滑动时，受到另一个物体阻碍它滑动的力。

方向：沿着接触面，跟物体相对运动的方向相反

大小：$F=μF_N(μ：动摩擦因数 F_N接触面间正压力)$

### 滚动摩擦力

定义；一个物体在另一个物体表面滚动产生的摩擦。



### 增加或减小摩擦力的方法

增大：增大接触面的粗糙程度，增大压力

减小：减小接触面的粗糙程度，减小压力，用滚动代替滑动，使摩擦面脱离接触（如涂抹润滑油）



# 受力分析

研究对象：受力物体。只分析受力（目前是平动，共点力分析）。多个力先分析受力最少的



**明确物体运动状态，从运动入手**



受力分析顺序：

1. 场
   1. 重力
   2. 电场力
   3. 磁场力（安培力）
2. 外力
3. 弹力
4. 摩擦力
5. 洛伦兹力

最后检验：每个力都有施力物体

> 弹力和摩擦力都是接触力，1个接触面，最多1个弹力、摩擦力
>
> 弹力：要有挤压
>
> 摩擦力：要有相对运动（趋势）



> 处理力的原则：
>
> 1. 只画受力图
> 2. 找出每个力的施力者
> 3. 隔离法：不同物体受力不能加减；整体法：不考虑研究对象间作用



> 摩擦力：f
>
> 支持力：N

> 常见力：
>
> 绳：等大反向，拉力
>
> 弹簧：等大反向，拉力或支持力



## 力的合成

合力与分力：如果一个力产生的效果与几个力共同作用产生的效果相同，这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力。

### 力的合成

力的合成：求几个力的合力的过程。

平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段作为邻边作平行四边形，这两条邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。

#### 合力大小

$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2cos \alpha}$

两个力大小不变时，合力随夹角增大而减小

* 两个力反向时，夹角180°，合力最小，为$|F_1-F_2|$

* 两个力同向时，夹角0°，合力最大，为$F_1+F_2$

两个共点力的合力范围：$|F_1-F_2| \leq F \leq F_1+F_2$

#### 三个共点力的合成

最大值：三个力同向时，合力最大，直接相加。

最小值：先判断其中任意两个力合力的大小范围。

* 若第三个力属于这个范围，那么这三个力合力最小值为0，形成首尾相连的闭合三角形
* 若第三个力不属于这个范围，则这三个力合力的最小值为两个较小力之和与第三个力之差的绝对值。

> F1=3N，F2=4N，F3=6N，F合：0N-13N



### 共点力

定义：物体受到两个或更多力的作用，共同作用在一个点上，或者不作用在同一点上，但是他们的延长线交于一点。

力的平行四边形定则只适用于共点力。



## 力的分解

定义：求一个已知力的分力的过程。

法则：力的分解是力的合成的逆运算，遵循平行四边形定则。

分解原则：如果没有限制，对某已知力，以它为对角线，可以作出无数个平行四边形。要根据实际情况确定。



有唯一解的条件：

* 已知合力大小，F1，F2方向

* **已知合力F大小，F1方向，F2大小**。是不是有唯一解需要讨论，取决于F2到底多大：
  * F2=Fsinθ，1个解
  
  * F2>Fsinθ，2个解
  
  * F2<Fsinθ，无解
  



### 正交分解法：一个力分解成两个互相垂直的力

已知F是合力，F与x轴夹角为θ，正交分解后

1. 建立直角坐标系
2. 投影（到x，y轴）
3. Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ




原则，看题目要求再决定是否采用：

* 分解的力越少越好

* x轴或y轴与a同直线（自动扶梯问题除外）

  

### 矢量相加原则

三角形定则：两个矢量首尾相接，从第一个矢量始端指向第二个矢量末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向。这是矢量相加的三角形定则。

实质：由于平行四边形对边平行且相等，所以三角形定则可以看成平行四边形定则的推广，两者实质一样。



## 三力平衡

不平行，三个力的作用线共点，一点或三点。

方向：

* 重力竖直向下
* 支持力垂直接触面
* 摩擦平行于接触面

三力平衡必共点，不然会发生转动



方法：

* 正交分解
* 矢量三角形



多个力：合成三个力或者正交分解



三力平衡题型：

* 2力垂直，第三个力角度已知，合成分解都可以

* 互不垂直，已知角度（杆撑绳吊重物模型中，杆系着绳，弹力方向沿着杆方向；不是系着，光滑，这时弹力方向和绳拉力，重力合力相反）：正交分解

* 互不垂直，方向位置，但给出了边角关系：相似三角形比值关系

  > 绳子吊着小球斜靠在地面半球模型，受力分析是矢量三角形。根据三角形相似求出T，N
  >
  > 半球半径R，距上面高度h，绳长L，
  >
  > $\frac N R=\frac{F}{h+R}=\frac T L$
  >
  > $T=mg\frac{L}{h+R}$
  >
  > $N=mg\frac{R}{h+R}$
  >
  > 如果上边是定滑轮，缓慢拉绳子，小球在沿斜面向上，高度上升，N不变；L减小，拉力减小
  >
  > > 缓慢：
  > >
  > > * 每个状态都是平衡状态
  > >
  > > * 动能不变

* 三力动态平衡问题（缓慢变化），一个力大小不变，一个力方向不变，求第三个力：矢量三角形（倾斜挡板，挡板对小球弹力问题，有最小值，先减小增大）



## 模型

刚性绳（无弹性）：

* **光滑轻绳**
  * 无结点：同条同力
  * 有结点：结点左右不同力
* 粗糙轻绳：连接点视为结点
* 有质量绳：绳最为受力对象分析

硬杆（没弹性）/轻杆（忽略重量）弹力模型：

* 死杆（固定不可动的杆）：杆对一端物体弹力：大小/方向任意
* 活杆
  * 一端铰接杆：杆对一端物体弹力：大小任意，方向沿杆
  * 两端自由杆：杆对两端物体弹力：大小相等，方向沿杆



## 题型

### 斜面问题

斜面和地面夹角θ



垂直斜面方向没有其他力时：N=mgcosθ

没有其他外力且物体受力平衡：f=mgsinθ

如果物体相对斜面滑动，且垂直斜面方向没有其他力：f=μN=μmgcosθ

如果物体相对斜面**匀速滑动**：mgsinθ=μmgcosθ（**μ=tanθ时正好匀速下滑**）



### 滑轮晾衣服模型/等腰三角形

绕过同一轻滑轮的绳子拉力相等

如果滑轮由绳子固定，绕过滑轮的绳子关于固定滑轮的绳子对称	



sinθ=d/l（d：两绳子水平距离，l：绳长）

如果其中一个力数值上下移动，拉力F不变



$F=\frac{G}{2cosθ}$ θ：绳子和竖直方向夹角



绳子拉力F增加：两绳子夹角增加/绳长增加



### 动态三角形

三个力，只有一个力的方向改变

解法：

1. 反向延长方向不变的力（一般不动G）
2. 竖直向下平移另一力
3. 动态分析变向力



### 第二种三角形

恒力：不变；定力：方向不变大小改变；变力

解法：

1. 反向延长定力
2. 平移变力
3. 动态分析



### 相似三角形（绳挂重物，杆顶绳，杆动）

2个力方向改变

解法：

1. 反向延长绳子的力
2. 竖直向下平移另一个力
3. 找相似三角形
4. 列相似比

### 直角三角形：特殊的相似三角形

有2个力始终垂直

解法：列式子/画圆



### 四力三角形：弹力，f，G，F

粗糙地面物体匀速问题



解法：弹力，f，合为一个力F0，按动态三角形解决



结论：F先↓后↑；F0一直↓：弹力，f都↓





# 牛顿运动定律

## 牛顿第一定律/惯性定律

定义：一切物体总保持匀速直线运动或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。只与质量有关。



亚里士多德：力是维持物体运动的原因

伽利略：力是改变物体状态的原因→理想实验



### 惯性

定义：物体所具有的保持匀速直线运动状态或静止状态的性质。在运动状态改变的时候表现出来。

理解：

* 惯性是物体的固有属性，任何物体在任何状态下都有惯性。
* 惯性大小∝物体质量
* 惯性不是力，不能说物体受惯性。



不受外力或合力为0，运动状态不变

**力是改变物体状态的原因，改变物体运动状态直接的原因是a，力通过产生a使v改变**

> 匀直：合外力为0
>
> 匀变速：a不变，合外力不变



## 牛顿第二定律

定义：物体加速度大小跟受到的作用力（合力）成正比，跟它的质量成反比，加速度方向跟作用力的方向相同。

$F=m\frac{△v}{△t}=ma$

公式：F=kma， F是合外力，k是比例常数，**k的大小由F, m, a的单位共同决定**，国际单位制中k=1，等式就简化为F=ma。

力的单位：N. 意义是：使质量1kg的物体产生$1m/s^2$加速度的力叫1N，即$1N=1kg·m/s^2$



关系：

* 矢量性：F是因，a是果。F方向，大小决定a
* 瞬时对应关系
* 独立性关系，每个F都产生一个加速度



### 两类典型问题

* 已知受力，分析运动
* 已知运动，分析受力(a分析出受力，发现解题规律)

> 弹簧和绳子分别吊一个质量m的小球，剪断弹簧和绳子，瞬间a为？
>
> 弹簧：F合=0，a=0（弹簧剪断瞬间形变还存在）
>
> 绳子：a=g

> 自动扶梯问题（扶梯向右上，人向右上），有G，Fn，f，f向右。a向右上，建立直角坐标系，分解a为ax，ay
>
> $Fn-mg=m_{ay}$
>
> $f=m_{ax}$

## 牛顿第三定律

定义：两个物体之间的作用总是相互的，物体之间相互作用的这一对力叫做作用力与反作用力。

作用力与反作用力的关系：

* 相互依存，同时产生、消失。
* 同一种性质，比如作用力是摩擦力，反作用力也是摩擦力。
* 大小相等，方向相反，在一条直线

* 作用力与反作用力分别作用在两个物体上，产生的效果不能抵消。



作用力与反作用力：等大，反向，共线，异体，同时，同性质



公式：$F=-F^{'}$

| 项目     | 作用力和反作用力           | 一对平衡力       |
| -------- | -------------------------- | ---------------- |
| 受力物体 | 作用在两个相互作用的物体上 | 作用在同一个物体 |
| 依赖关系 | 相互依存                   | 无依赖关系       |
| 抵消？   | 不行                       | 可以抵消，合力=0 |
| 力的性质 | 同种性质                   | 可以不是同种性质 |

沿光滑斜面下滑，初速度为0，下滑到底部速度相同，$V_t$只与h有关，与θ无关。

同一个圆，最低点为斜面的低点，下滑时间相同，时间与θ无关，只与半径有关。



## 牛顿定律的应用

| 物体 | 力                                             | 速度                                                         |        |
| ---- | ---------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ | ------ |
| 轻绳 | 绳内力处处相等，只有拉力                       | 绳两端沿绳方向v相同、平动a相同                               | 突变   |
| 轻弹 | 两端力相同，与示数相同                         | 拉伸最长，缩短最短，弹簧两端速度相等                         | 不突变 |
| 轻杆 | 可以提供各种力<br />轻杆只两端受力，必沿杆方向 | 杆两端沿绳方向v相同、平动a相同<br />杆两端的相对运动一定为圆周运动 |        |

## 方法

整体法

隔离法



## 题型

### 共点力平衡问题

状态：静止/匀直，合力为0

研究对象：

* 单个物体
* 系统：多个物体相互作用的体系
* 绳子/杆的节点

典型三力平衡模型：

* 存在垂直关系：合成分解

* 不存在垂直关系，但方向/角度已知：分解（绳+杆支撑物体，绳弹力沿着绳收缩方向，杆弹力沿着杆向外）

* 动态平衡问题：矢量三角形

  > **缓慢：每一个状态都是平衡状态**
  >
  > 斜面球体被挡板挡住，挡板缓慢倾倒，求对挡板和斜面的压力
  >
  > 球受mg，斜面弹力F1，挡板弹力F2（一个力大小方向不变，一个力方向不变）：mg，F2为直角边，F1为斜边，挡板倾倒过程中：F1减小，F2（转动）先小后大，F2⊥F1时有最小值  

* 多力平衡：正交分解

* 被动力问题：F沿斜面向上拉物体，F增大过程中，静摩擦力怎么变：F>mgsinθ，增大；F<mgsinθ，f沿斜面向上，f减小



### F=ma

列式时，一般不建议过早展开f成f=μmg，而是μFn，因为可能出现Fn≠mg的情况

**最后回答时，要指出a的方向**





### 动力学两类基本问题

受力<=>运动



> 静止斜面体M，斜面上物块m静止/沿斜面匀速直线，m对M力竖直向下，大小mg，两物体可看做整体，对地面压力mg+Mg
>
> 如果沿斜面有加速度，不可看做整体，地面给的支持力和摩擦力发生变化



### 失重和超重

失重：a向下，F=mg-ma

超重：a向上，F=mg+ma

完全失重：a=g，F=mg

失重/超重时不能正常使用的：天平，杆秤，气压计。

在完全失重的状态下，平常一切由于重力产生的物理现象都完全消失，如单摆停摆、天平失效、浸在水中的物体不受浮力、液体柱不再产生向下的压强．

> 托盘秤上放一个盛水的容器，容器上绳子吊着一个铁球在水中，剪断绳子，弹簧秤示数减小：剪断，铁球加速下降，失重



### 浮力问题

> 装满水的容器底部一弹簧连接一木球/铁球，在完全失重情况下，木球/铁球上升还是下降？
>
> > 木球浮力>重力，弹簧拉伸，铁球浮力<重力，弹簧压缩，
> >
> > 完全失重情况下，a=g，水给物体的浮力为0，所以：
> >
> > 木球下降，铁球上升，到弹簧原长



### 连接体问题

特点：v相同/相对静止

核心：加速度相同

解法：先求a，再整体法+隔离法。隔离法优先选择受力少的



### 瞬时性突变问题

模型：

* 细绳，细杆：弹力可突变
* 轻弹簧：弹力不可突变，大小方向都不变

解法：

1. 计算弹簧弹力
2. 弹力看成**外力**，重新受力分析



弹簧：平面是否光滑，和弹簧形变→恢复原长，平衡点情况不同，有摩擦力，在恢复原长之前，v达到最大值



### 变力作用下的运动

方法：F-t图结合v-t图



### 临界问题（也是连接体问题）

特征：恰好，正好



### 已知车内绳子倾角求加速度

θ：绳子和竖直方向的夹角

$T=\frac{mg}{cosθ}$

a=gtanθ



如果是有斜面，车匀加速使小球离开斜面，求T时：

> Tsinθ=ma
>
> Tcosθ=mg
>
> 两个式子平方再相加消去θ：$T=\sqrt{m^2a^2+m^2g^2}$



### 分解加速度

题目要求摩擦力，弹力，a不和这两个力在一条直线，分解a

* 分解a更容易算

* 如果不分解，列2个方向式子后，一个式子×sinθ，一个式子×cosθ，相加消去一项，先算出一个力



### 多物体

思路：

1. 先分析受力少的/接触面少的
2. 根据相互作用分析出下一个物体的受力



整体法使用条件：a相同。能用就用，快速求a/外力



#### 一静一动

静：静止不动（相对地面）



#### 连接体

##### 绳子直的

要注意地面是否粗糙



**a要看是否粗糙，是不是斜面**

$a=\frac{F}{m_A+m_B}$

$a=\frac{F}{m_A+m_B}-μg$

$a=\frac{F}{m_A+m_B}-gsinθ-μgcosθ$

**T和是否粗糙/斜面无关**

$T=\frac{m_A}{m_A+m_B}F$



**叠加体f和连接体的T不同，叠加体只有地面的物体受摩擦力，f和是否粗糙有关**



##### 绳子不直

滑轮连接，两物体运动方向不同，a方向不同，不能看成一个整体



注意：

* 两物体要分开分析
* 看运动方向列牛二



### 叠加体相对滑动

解法：

1. 找到a的最大值（不受外力）
2. 求a最大值（隔离法）
3. 整体求F

 

### 斜面下滑物体

固定高度，坡度不同/固定地面，高度不同：越陡，用时越短



等时圆：同一高度下落/落点相同，时间都一样，只和半径有关



> 斜面上方一段距离A点，小球落下，怎样到斜面时间最短：A为最高点，画圆和斜面相切，切点和A的连线用时最短。连线和竖直方向夹角为斜面θ角的一半



### 斜面M不动，木块下落，地面对M摩擦力方向

木块沿斜面？地面对M摩擦力方向：

* 恰好匀速下滑：无（再在木块施加一个力，只要不是向上动，地面对M摩擦力还是0）
* 加速下滑：向左
* 减速下滑：向右



### 传送带问题

需要受力分析的时机：初始，共速，有外力



物体放到传送带瞬间：f是滑动摩擦力，沿传送带运动方向，**斜向下也一样**

共速时：f为静摩擦力

* 水平传送带f=0
* 斜向上/向下，f都沿斜面向上



相对位移=|物体位移-传送带位移|

划痕长度=某段相对位移的最大值



算物体出传送带的末速度：直接按一直加速/减速先算出假定的末速度v，再看传送带速度和长度判断能不能达到v，能达到就是v；达不到末速度就是传送带速度



### 板块模型

影响点：

* 有无外力
* 光滑
* 粗糙：物体，滑块粗糙大小



思路：受力分析，初始，共速，突发

方法：v-t图



共速无外力时：

* μ地大：发生相对滑动，只能隔离
* μ地小：一起运动，可整体法  先用整体法算a，然后隔离另一个物体看能不能达到a，能达到就一起动；不能就相对滑动





# 曲线运动

物体加速度/合力方向和它的速度方向不在同一条直线上



曲线运动方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向

曲线运动学特征：

* 轨迹是曲线
* 曲线运动一定是变速运动。物体的速度方向时刻发生变化。方向：沿着切线方向，大小：外力→变速运动，a≠0，合力不为0
* **合力的方向一定指向轨道弯曲的内侧**。在处理曲线运动的轨道问题时，注意轨迹是向力的方向弯曲，力的方向总是指向轨迹的内侧

受力学特征：

* 合外力不为0
* 合力与$V_0$不在同一直线



合力与v夹角α：

* 锐角：加速运动
* 钝角：减速运动
* 直角：只改变力的方向

合力不变：匀变速曲线运动→运动合成与分解，平抛。合力变化：非匀变速：圆周运动



### 运动的合成与分解

合运动：实际发生的运动

分运动：合运动分解成多个方向的运动，实际是2个



运动合成和分解的实质：v，a，x在x，y方向**相互垂直**的合成/分解



运动合成与分解的运算法则：x, a, v都是矢量，遵循平行四边形定则。



分运动和合运动的关系

* 等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
* 独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响
* 等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相同。即各分运动总是同时开始，同时结束



## 平抛运动

抛体运动：以一定的速度将物体抛出，如果只受重力的作用，这时的运动叫抛体运动。抛体运动开始时的速度叫初速度。

平抛和斜抛都是匀变速曲线运动。



定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下做的运动

特点：

* 加速度特点：平抛运动的加速度恒定，始终等于重力加速度。是匀变速曲线运动。
* 速度变化特点：做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量相等，均为$\Delta v=g\Delta t$，方向竖直向下。

受力：a=g，合力=mg，恒力



### 速度规律

水平：$v_0$

竖直：$v_y=gt$

合速度：$v=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$

方向：$tan \theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}$



三角函数关系：v：某时刻速度

$v_0=vcosθ$

$v_y=vsinθ=v_0tanθ$



### 位移规律

水平：$x=v_0t$ 

竖直：$y=\frac{1}{2}gt^2$



合位移：$s=\sqrt{x^2+y^2}$



### 推论

* 飞行时间：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，t只和h有关，与$v_0$无关

* 射程：$x=v_0t=v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$，由$v_0$,h,g决定

* 偏转角（改变方向后的速度与原方向的夹角）：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0}$

* **tan θ= 2tan α**, 其中θ为某时刻速度与水平方向的夹角，α为该时刻位移与水平方向的夹角

  * 平抛中任一速度的反向延长线过水平位移的中点
  * 平抛落到斜面任意位置的v，方向不变
  * 任意时刻速度的反向延长线都不可能过圆心

  > $tanα=\frac H x =\frac{gt}{2v_0}$
  >
  > $tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0}$
  >
  > $θ=\frac{2h}{v_0t}$



### 扩展：斜抛

上抛方向与水平方向角为θ：

$v_x=v_0cosθ$

$v_y=v_0sinθ$

最高点：

* $v_y=0$，斜抛的最小速度$v_{min}=v_x$，最高点之后是平抛运动
* 到最高点的高度：$h=\sqrt{\frac{v_0^2}{2g}}$
* 到最高点的时间：$t_上=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，最高点下落到和上抛点相同高度时间和上抛到最高点时间相同

上抛→下落到相同高度的位移：$x=v_x·2\sqrt{\frac{2h}g}$



### 平抛角度计算

思路：

* 判断是速度/位移的角度
* 不是速度的角度→就是位移的

是速度的角度：恰好/对着斜面平抛砸到斜面



解法：

1. 分解速度/位移
2. 列方程，2个未知数，2个方程



## 圆周运动（受向心力作用）

定义：物体的运动轨迹是圆

最简单圆周运动：匀速圆周运动

a：向心加速度，合力指向圆心：向心力



如平抛：初速度为0，加速度竖直向下，大小为g

曲线：$\vec v$与$\vec a$不共线，v沿曲线的切线方向。a：

* 和速度方向平行，只改变v大小，不改变方向
* 和速度方向垂直，改变v方向，不改变大小



能处理成圆周运动的模型：

* 物体从$\frac 1 4$圆弧运动的过程
* 钟摆



## 匀速圆周运动

不是匀速运动，是匀速率圆周运动，线速度大小处处相等

线速度：$v=\frac s t=\frac{2πr}T=ωr$ （s：弧长。v：m/s。记忆：线速度=绕弯） 

角速度：$ω=\frac{△θ}{△t}=\frac{2π}T$，单位：弧度每秒，rad/s

线速度与角速度关系：v=ωr

周期（转一周t）：$T=\frac{2π}{ω}$，单位：s

频率（1s内圈数）：$f=\frac 1 T$，单位：赫兹，Hz。

转速：$n=\frac 1 T$，ω=2πn



$a_向=\frac{v^2}r=ω^2r=\frac{4π^2r}{T^2}=4π^2f^2r=ωv$

$F_向=m\frac{v^2}r=mω^2r=m\frac{4π^2}{T^2}r=4mπ^2f^2r$



匀速圆周：合外力完全提供向心力，指向圆心。**向心加速度a⊥线速度v**

一般圆周：v大小，速度都在变，合力与v不是始终垂直，合外力没有完全提供向心力





> 同轴角速度相等
>
> 共线线速度相等：皮带连2圆/2齿轮扣一起



### 线速度

定义：物体沿圆周通过的弧长与时间的比值。

公式：$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}(\Delta s：通过的弧长，\Delta t:用时)$

单位：米每秒, m/s

方向：沿圆弧切线方向。即圆周运动的线速度方向时刻变化



### 角速度

定义：连接运动质点和圆心的半径扫过的角度与时间的比值

公式：$ω=\frac{△θ}{△t}=\frac{2π}T$(△θ：扫过的角度，△t：用时)

单位：弧度每秒，rad/s

线速度与角速度的关系：v=ωr



### 周期

定义：做圆周运动的质点运动一周所用的时间

公式：$T=\frac{2 \pi}{\omega}$

单位：秒, s



> 假如ω之比是1:2:3，问T之比：每个都倒数再通分，不是直接调换3个数



### 频率

定义：做圆周运动的质点在单位时间内沿圆周转过的圈数

公式：$f=\frac{1}{T}$

单位：赫兹, Hz



## 向心加速度

定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度

物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量



$a_n=\frac{v^2}r=ω^2r=ωv=\frac{4π^2r}{T^2}=4π^2f^2r$



刚体：f相同，ω相同，T相同



向心力本质：计算结果的力（轨道形状，此点速度）

合外力=向心力：匀速圆周运动

合外力<向心力：离心运动

合外力>向心力：向心运动



## 向心力

定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫向心力。

方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直

作用效果：产生向心加速度，只改变物体速度的方向，不改变速度的大小

向心力的来源：按作用效果：可以是重力、弹力、摩擦力等。也可以是几个力的合力或者某个力的分力

向心力的大小：$F_n=ma_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega ^2r=m\frac{4 \pi^2}{T^2}r=m(2\pi f)^2r=m\omega v$



**向心力=一律是指向圆心的力-背离圆心的力**



### 匀速圆周运动和一般曲线运动

变速圆周运动：做变速圆周运动的物体所受合力，不指向圆心。它可以分为跟圆周相切的分力$F_1$和指向圆心方向的分力$F_0$。其中$F_1$改变速度的大小，$F_0$改变速度方向。

一般的曲线运动的处理方法：把曲线分割为许多段很短的小段，质点在每段的运动都可以看做圆周运动的一部分



### 离心运动

离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力时，逐渐**远离圆心的运动**（需要的向心力大，外力提供的小）





离心力：不是力，是惯性的表现。只有在圆周运动参考系中才有离心力出现。

方向：背离圆心，$=m\frac{V^2}R$，与向心力大小相同，方向相反。



向心运动：靠近圆心的运动（需要的向心力小，外力提供的大）



合外力突然消失：物体沿着切线方向飞出 



## 匀速圆周运动模型

### 圆盘

多物体，质量相同，μ相同，r大的摩擦力大，先甩出去



质量，μ都不一定：直接按照临界算

> $f=mω^2r$ 
>
> f=μmg 物体不动，f是静摩擦，动了是滑动摩擦，可用公式
>
> $ω=\sqrt{\frac{μg}{r}}$ 角速度小的先甩出去



#### 多物体同侧绳连

绳子出现拉力：外侧物体A f到最大值，但内侧B没有，$ω=\sqrt{\frac{μg}{r_A+r_B}}$

发生相对滑动：两物体f都到最大值，$ω=\sqrt{\frac{2μg}{r_A+r_B}}$



#### 不同侧绳连

绳子出现拉力：外侧物体A f达到最大值，$ω=\sqrt{\frac{μg}{r_A-r_B}}$

发生相对滑动：f都达到最大值，$ω=\sqrt{\frac{2μg}{r_A-r_B}}$



## 非匀速圆周运动（竖直方向）

区分是杆模型还是绳模型：最高点有支撑物，就是杆模型



细绳最高点最小v：$v=\sqrt{gr}$，这时拉力=重力

杆模型最高点速度可以是0







## 生活中的圆周运动

> 水平面的：匀速圆周运动
>
> 竖直面的：绳模型，杆模型
>
> 绳过最高点速度$v≥\sqrt{gr}$
>
> 
>
> v大小不变
>
> $F_合=F_向$
>
> ω不变

### 铁路的弯道/倾斜的高速公路

这时向心力水平，不是和倾斜的地面平行。如果需要轮胎提供摩擦力：摩擦力和斜面平行，摩擦力分力提供向心力

火车是2轮分别卡在两侧工字形铁轨内侧。



火车转弯的速度：

$F_向=m\frac{v_0^2}{r}$ 

$F_合=mgtan\theta$



a=gtanθ

$F_合=F_向→v_0=\sqrt{grtan\theta}$  临界速度/设计速度



当$v=v_0$时，轮缘不受侧向压力/没有摩擦。≠就会有摩擦 

当$v>v_0$时，轮缘受到外轨道向内的挤压力/高速公路向外趋势，f抵消

当$v<v_0$时，轮缘受到内轨道向外的挤压力/高速公路向内趋势，f弥补



### 汽车过拱桥问题

#### 过凸形桥

$F_合=F_向→$

$G-F_N=m\frac{v^2}{r}→$

$F_N=G-m\frac{v^2}{r}→$

$F_N<G$



结论：汽车对桥的压力$F_N<G$，桥的使用寿命长



#### 过凹形桥

$F_合=F_向→$

$F_N-G=m\frac{v^2}{r}→$

$F_N=G+m\frac{v^2}{r}→$

$F_N>G$



结论：汽车对桥的压力$F_N>G$，速度越快，对桥的压力越大，汽车也更容易爆胎



## 题型

### 小船过河

问题：

1. 最短（船头正对河岸，位移是斜的线段）：河宽/船速
2. x位移最短

> 河速<船速：
>
> * x最短（位移=河宽，船斜指向上游，与河岸形成θ，cosθ=河速/船速 ）
>
> 河速>船速：
>
> * x最短（水速为斜边，水速箭头点作半径船速的圆，合力方向与圆相切时位移最短。圆心与切点的连线就是船速方向，仍斜指向上游，与河岸形成θ，cosθ=船速/河速）



### 小船靠岸：匀速拉绳子，船速多少？

> 正确的分解：船速分解成绳速和垂直绳速向下的方向

拉绳子速度v，绳子和水平方向夹角是θ：

$v_船=\frac{v}{cosθ}$，θ↑，cosθ↓，船速↑



拉船/滑轮连接的物体，绳子有角度变化，这类题型解法：

1. 判断合运动方向
2. 分解和运动到沿绳/杆/垂直接触面方向：**沿着绳/杆建系**
3. 列式



### 车拉定滑轮物体

车拉连着定滑轮的质量m的物体，车做$v_0$匀速运动，求对物体的拉力T和mg的关系？



绳子和水平方向夹角为θ，车的水平运动分解成绳子方向v和垂直绳子方向的力$v_2$：

$v=v_0cosθ$，随着车运动，θ↓，cosθ↑，v↑（=物体速度），物体加速上升，T-mg=ma，所以T>mg



### 雨滴类下落问题

$f=kv^2$ 下落到一定时间后匀速下落



> 降落伞匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，降落伞**落地时速度越大**  

### 平抛只给了h，x，未给t，求落地动能之比

落地动能之比=末速度平方之比



1. 列2平抛公式，消去t，得$y=\frac{g}{2v_0^2}x^2$
2. 分别计算$v^2$，得到比值关系





# 万有引力与航天

向心力来源：万有引力：$F=\frac{GMm}{R^2}$ （R：天体间的距离），在天体运动中起支配作用

## 开普勒三定律

开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间扫过的面积相等

开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

$k=\frac{a^3}{T^2}$ (a:椭圆轨道的半长轴，T：公转周期，k：只取决于中心天体的质量的常量，对环绕的所有行星都相等)​

 

## 天上公式

原理：F合=F向=F万

$\frac{mv^2}{R}=mω^2R=m\frac{4π^2}{T^2}R$ （R：圆周运动的半径）

$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

$ω=\sqrt{\frac{GM}{R^3}}$

$a=\frac{GM}{R^2}$

$T=2π\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$→$T^2MG=4π^2r^3$（比值问题没有根号更好算。记法：踢踢母鸡=死ππ啊啊啊） 



**天体比值运算，可去常数G，带比值**



公式使用前提：

* 一个万有引力=向心力的时候
* 圆周运动，不是椭圆

高轨低速大周期：随着R增大，v，ω，a变小，T变大



## 人间公式

使用时机：有g人间公式，没g天上公式

原理：F万=mg

$mg=\frac{GMm}{R^2}$

$gR^2=GM$（黄金公式）



g：

* 地球表面：直接用
* 有一定高度：$GM=(R+h)^2g_高$



## 太阳与行星间的引力

$F=\frac{mv^2}{r}$

$v=\frac{2\pi r}{T}$

消去v，→

$F=\frac{4\pi^2mr}{T^2}$

$\frac{r^3}{T^2}=k$

消去T，→

$F=\frac{4\pi^2km}{r^2}$



$F\propto \frac{m}{r^2}$ 牛顿第三定律+类比法：$F'\propto \frac{M}{r^2}$ 

结论：太阳对行星的引力与行星的质量/行星对太阳的引力与太阳的质量**成正比**，与太阳、行星间的距离的二次方成反比



### 太阳与行星间的引力

$F=\frac{GMm}{r^2}$

结论：太阳与行星间的引力大小与太阳质量、行星质量成正比，与二者距离的二次方成反比



## 万有引力定律

内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量$m_1,m_2$的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比

公式：$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$。 质量单位是kg，距离单位是m，力的单位是N，G是引力常量

万有引力的理解：

* 普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力
* 相互性：两个相互作用的引力是一对作用力和反作用力，大小相对，方向相反，分别作用在两个物体上
* 宏观性：通常情况万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与它附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义
* 特殊性：两物体间的万有引力与它们本身的质量有关，与它们间的距离有关，与所在空间的性质无关，与周围有无其他物体无关



### 引力常量

英国物理学家卡文迪许利用扭秤测出引力常量G的数值，证明了万有引力定律的正确性。意义：

1. 证明了万有引力存在
2. 开创了微小量测量的先河



$G=6.67×10^{-11}N·m^2/kg^2$



## 宇宙航行

### 第一宇宙速度的推导

####  万有引力提供物体做圆周运动的向心力

$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R} \Longrightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{6.67×10^{-11}×5.98×10^{24}}{6.40×10^6}}m/s=7.9km/s$

#### 地表附近，重力近似等于万有引力

$G\frac{Mm}{R^2}=mg=>GM=gR^2$

$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R} => v=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8×6.4×10^6}m/s=7.9km/s$



### 宇宙速度

第一宇宙速度：7.9km/s

第二宇宙速度：11.2km/s

第三宇宙速度：16.7km/s



速度为7.9km/s时，物体环绕地球表面做圆周运动

* 7.9km/s<v<11.2km/s，物体仍绕地球运行，轨迹是椭圆，环绕速度<7.9km/s
* 11.2km/s<v<16.7km/s，物体围绕太阳运行
* v>16.7km/s，物体可飞离太阳系成为自由天体



## 题型

### 计算天体的质量和密度

近地轨道/天体表面：认为轨道半径=中心天体半径



M=ρv

M：

* 有g：$GM=gR^2$
* 没g：天上的公式



#### 已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T及轨道半径r

* 由万有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$，故中心天体质量$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$

* 已知天体的半径R，则天体的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3\pi r^3}{GT^2R^3}$

  若物体环绕天体表面运动，其轨道半径r=天体半径R，则天体密度$ρ=\frac{3\pi}{GT^2}$

* 天体表面重力加速度，近似条件，忽略天体自转时：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$

  $g=\frac{GM}{R^2}$，如果计算轨道高度，需要R+h

  天体表面：$gR^2=GM$



### 月——地模型

月亮是质点，地球不能看成质点

$r=R_地+h$

$G\frac{Mm}{(R+h)^2}=m\frac{4π^2}{T^2}(R+h)$





### 地球同步卫星

人造卫星：必须沿着地球地心匀速圆周运动。

向心力来源：万有引力



同步卫星：相对地面静止的卫星，基本特征：

* 运行方向：与地球自转方向一致

* 周期：T=24h

* 角速度：与地球自转角速度相同

* 轨道平面：赤道的正上方，只能是赤道卫星

* 离地面的高度：$h≈3.6×10^4km$

  > 由$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4π^2}{T^2}r$
  >
  > $r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4π^2}}=R_地+h$
  >
  > 所以h是定值

可以不同的：

* m
* 经度不同



轨道半径r：R+h，地球半径+高度（天体表面/近地卫星，认为r=R）



$v=\frac{2πr}{T}$



比较同步卫星，赤道地面物体，卫星的v, a, T ω：**同步卫星看地面**，同步卫星和地面T相同



### 卫星变轨

低轨道→高轨道

1. 点火加速成椭圆轨道
2. 再次点火加速进入高轨道

 

比较高轨道，低轨道，和相应的椭圆轨道速度：高轨低速大周期，椭圆速度在两极

比较a：点火加速a不变。低/高轨道和椭圆轨道公共点a分别相等

周期：看长轴长短



### 双星系统

特点：ω相等，T相等

问题类型：

* 单个星的问题
* 整体问题



$L=r_1+r_2$



$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1ω^2r_1$ ①

$G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_2ω^2r_2$ ②

①+② $GM_总=ω^2L^3$

①÷② $m_1r_1=m_2r_2$



### 三星系统

特点：ω相等



三星质量相等，两星球间距为r：

$\sqrt{3}G\frac{m^2}{r^2}=mω^2\frac{r}{\sqrt 3}$

$ω=\sqrt{\frac{3Gm}{r^3}}$

$T=2π\sqrt{\frac{r^3}{3Gm}}$



### 追及相遇

思路：把高轨道的看成静止不动



θ：初始两者夹角

$t=\frac{相对θ}{相对ω}=\frac{2π-θ}{ω_大-ω_小}$ 



**经过多少时间相距最远：分子换成π-θ**



### 人间考虑自传

黄金公式用两级的g

赤道的g：F万=G+F向



解法：

1. 先列密度+体积公式①
2. 赤道的g的公式②
3. 两极的黄金公式M带入②，算出R=...
4. R=...带入①



### 黑洞

表面看成黑洞边界

表面：v=光速





# 机械能守恒定律

## 能量

定义：物体具备了对外做功的本领

势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量

动能：物体由于运动而具有的能量。决定因素：由物体的速度和质量决定。物体运动速度越大，质量越大，动能越大



## 功

定义：物体受到力的作用，在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功（在空间位移的积累效应）

本质：能量转化

必要条件：作用在物体上的力；物体在力的方向上发生了位移



功的计算：力对物体做的功，等于力的大小，位移的大小，力与位移夹角的余弦这三者的乘积。F沿着x方向做的功

公式：$W=Fxcosα(α：力的方向与位移的方向的夹角)$

单位：J，1J=1N*m

W：标量



功能关系：

* 重力势能：重力做功
* 弹性势能：弹力做功
* 内能：滑动摩擦力做功
* 电势能：电场力做功
* 电能：安培力做功



> 功的其他公式：
>
> $W=P_{额定}t$
>
> $W_合=△E_k$
>
> 
>
> 弹簧做功：$W=\frac 1 2 kx^2$



典型做功：

* 一对静摩擦力做功，代数和为0，不会转为其他形式的能
* 一对滑动摩擦力，代数和<0，转化为热能Q
* 安培力做功（磁场对电流做功）：F=BIL（相互垂直）



### 正功和负功

| 力的方向和位移的夹角 |           | 效果                 |
| -------------------- | --------- | -------------------- |
| 锐角                 | 正功      | 动力，促进物体的运动 |
| 直角                 | 0，不做功 |                      |
| 钝角                 | 负功      | 阻力，阻碍物体的运动 |



> 求f做的功：W=-fx
>
> **克服**f做功：W=fx
>
> 合外力做功：
>
> * 不推荐，代价太大，知道就好：先求合外力，然后计算功
> * **推荐**：先求分力做功，然后求和（标量可直接求和）

向下移动重力做正功

摩擦力可以做正功、负功、不做功

静摩擦力做

* 正功：手握话筒往上动
* 负功：手握话筒往下动
* 不做功，没摩擦，不能机械能转化成热能：木板+木块，木板滑动，木板木块未发生相对位移

动摩擦力做正功：传送带初始状态



> 滑动摩擦力做功：木板+木块，木板滑动，木板木块发生相对滑动
>
> $Q=f_滑s$（s：木块相对木板滑动距离）
>
> 
>
> $W_f=-f_滑x_m$
>
> $W_{f'}=f_滑x_M$
>
> $W_f+W_{f'}≤0=-f_滑(x_m-x_M)$
>
> 可实现机械能向热能的转化



### 功的计算方法

1.  恒力的功：$W=Fxcosα$
2. 合力的功：
   1. 各力做功的代数和
   2. 先求出合力，再用公式
   3. 利用动能定理：$W_合=E_{k2}-E_{k1}$
3. 变力的功
   1. 由动能定理或功能关系求解
   2. 将变力的功转化为恒力的功求解
      1. 当力的大小不变，方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程（不是位移）的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功
      2. 作出变力F随位移x的变化的图像，图像与横轴所夹的面积即为变力所做的功
      3. 当力的功率P一定时，W=Pt求解

> 斜面物体做功：摩擦系数μ，物块重m，水平距离s，做功多少？
>
> f=μN=μmgcosθ
>
> $W=-μmgcosθ\frac s{cosθ}=-μmgs$
>
> ∴ **斜面物体做功和θ无关，和相同水平距离s的水平面做功一样，都是负功**
>
> 斜面物体支持力不做功,支持力的方向垂直斜面,而物体沿着斜面滑动,两个力的方向垂直,w=fscosα 而cos90°=0所以做功为零 



## 功率

定义：力对物体做的功W与做功所用时间t的比值（平均功率）

公式：$P=\frac{W}{t}$

单位：W。 1kW=1000W

物理意义：功率是表示力对物体做功快慢的物理量



额定功率：机械长期正常工作允许的最大输出功率

实际功率：机械实际输出的功率≈额定功率

### 功率、力和速度的关系

#### 瞬时功率P=Fv的推导

当力F的与位移x方向一致时，力F所做的功为W=Fx。根据功率公式W=Pt，可得$P=\frac{Fx}{t},\frac{x}{t}=v$，所以P=Fv

对应关系：

* 同时性：P,F,v对应同一时刻
* 同体性：对应同一个物体
* 同向性：前提条件是**F,v同向**，否则要用P=Fv cos α计算

### 平均功率和瞬时功率

平均功率：功和完成这些功所用时间的比值

瞬时功率：某一时刻的功率。常用P=Fv计算，v对应该时刻的速度



## 重力势能

### 重力做功

特点：重力对物体做的功只跟起点，终点位置有关，和物体运动路径无关

公式：$W_G=mgh=mgh_1-mgh_2$，初动能-末动能



如果是求斜面/平抛下落物体重力瞬时功率：速度方向要和重力方向一致：求斜面下轮物体2s末瞬时功率为例：P=mgvcosθ，θ是斜面夹角



### 重力势能

重力势能：所受重力处和所处高度的乘积。

公式：$E_P=mgh$

单位：焦，J



#### 重力做功和重力势能变化关系

|          | 重力做功$W_G$（正/负） | 重力势能$E_P$（增加/减少） | 重力做功和重力势变化的关系           |
| -------- | ---------------------- | -------------------------- | ------------------------------------ |
| 物体上升 | 负                     | 增加                       | 物体克服重力做的功等于重力势能的增加 |
| 物体下降 | 正                     | 减小                       | 重力做的功等于物体重力势能的减少     |

物体下降，重力做的功等于重力势能的减少量，$W_G=-\Delta E_p$。



重力势能具有相对性，计算重力势能之前需要选定参考平面

1. 参考平面上方的物体，高度是正值，重力势能也是正值
2. 参考平面下方的物体，高度是负值，重力势能也是负值



## 弹性势能

定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有的势能

影响因素：形变量，劲度系数越大，弹性势能越大

弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的改变仅和弹力做功有关。$W_弹=-\Delta E_p$：

* 弹力正功=弹性势能减少；负功增加
* 形变量越大，弹性势能越大
* 弹力恢复原长：做正功

> 弹性形变范围内，弹簧弹力不突变

### 弹性势能的表达式

弹簧弹力F与弹簧形变量l是线性关系。弹力与位移方向相反，故弹簧弹力做负功，即$W_弹=-\frac{1}{2}kx^2$

如果选取弹簧的长度为原长时，弹性势能为0. 弹簧弹性势能表达式是：$E_p=\frac{1}{2}kx^2$.

**同一弹簧伸长或压缩相同的长度时，弹性势能相等。弹性势能是和原长比较，不是和原形变量**





## 重力势能，弹性势能，内能计算

三个量计算方法：W=-$E_p$=-(末-初)



机械能：初重力以外，力的做功



## 机械能守恒定律

### 机械能

定义：动能+势能

表达式：$E=E_k+E_p$



相互转化：

* 通过重力/弹力做功，重力/弹性势能和动能可以相互转化
* 通过重力和弹力做功，弹性势能和重力势能可以相互转化



### 机械能守恒定律

> 初末速度都为零，过程中拉力做功等于摩擦力做功的大小

内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变

守恒条件：**只有重力和弹力做功**（或受其他力，但其他力不做功）



**有摩擦发热，机械能不守恒**



#### 机械能守恒定律的三种表达式

| 表达角度 | 表达式（**要确定0势能面**） | 意义                                                         |
| -------- | --------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| 守恒观点 | $E_k+E_p=E_k'+E_p'$         | 系统的初始机械能的总和与末状态机械能的总和相等               |
| 转化观点 | $\Delta E_k=\Delta E_p$     | 物体机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能 |
| 转移观点 | $\Delta E_增=\Delta E_减$   | 若系统由A，B两部分组成，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量 |



### 应用/解题

1. 确定研究对象，分三类：
   1. 单个物体
   2. 系统（定滑轮连接2个质量不相等物体，不考虑摩擦，松开手，由于质量不同，重的加速下降，轻的加速上升，单独看两物体，机械能都不守恒；整体看守恒）
   3. 地面固定一弹簧，向上3点：小球压缩弹簧最大为A点，mg=k△x为B点，C是弹簧不受力点，这时小球+弹簧构成系统的机械能守恒：$W_N-W_G=△E_k$
2. 分析条件，外力做功一定不守恒
3. 根据问题列方程求解（或者利用动能定理定性分析）
   * 状态方程（**要先确定0势能面**）：$E_1=E_2(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2})$
   * 过程方程：$△E_k=△E_p$，动能增加量是势能减小量。直接演化成动能定理式最好：$W_G=△E_k，W_G+W_N=△ E_k$



## 能量守恒定律

功能关系：做功的过程就是能量转化的过程，做多少功就有多少某种形式的能转化为其他形式的能，功是能量转化的量度



**能量守恒定律**：能量不会凭空产生、消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体。在转化或转移过程中，能量的总量保持不变。



机械能守恒定律和能量守恒定律的区别：

* 机械能守恒定律反映的是一个系统中只有重力或弹力做功，系统内物体的重力势能、弹性势能与动能可以相互转化，但总的机械能保持不变
* 能量守恒定律反应的是一个系统有机械能损失，但损失的机械能转化为其他形式的能，总的能量不变



## 题型

### 机车启动

#### 额定功率

ma=F-f

1. 加速阶段：$F=\frac{P_额}{v}$，v↑，额定功率不变，F（牵引力）↓，a↓的加速直线运动

2. 当v足够大时，F=f，a=0，速度达到最大值，做匀速直线运动。P=fv

#### 恒定a

ma=F-f	

$F=\frac{P_额}{v}$

1. F不变，v↑，则P一定要↑，P到最大值，P不变，v↑，F↓，匀加速直线
2. **v↑，a↓的匀加速直线**，保持一段时间加速，v-t图拐弯的部分
3. a=0，v到最大值：匀速直线。P=fV



### F-1/v图

从右往左看：

* 水平段a不变
* k>0段a↓
* 最低点是匀速阶段



解法：

* 先F=f得出阻力，最大速度v



# 动能定理

动能：物体由于运动具有的能量

## 动能定理

力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。



公式：$W=△E_{k}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv^2_0$

$E_k=\frac{1}{2}mv^2$

单位：焦耳，J



> 推导：
>
> F=ma
>
> $v^2-v_0^2=2ax$ 替换a，整理得到
>
> $Fx=\frac 1 2mv^2-\frac 1 2mv_0^2$ 不涉及t



对动能定理的理解：

* **合外力做功=动能变化量**

* W>0，动能增加
* 动能改变，物体运动状态一定改变

**动能定理可用于**：质点做直线/曲线运动，恒力/变力、分段/全程做功等



**非常适合动能定理的场景**：

* 牵扯到F x v之间的关系
* **变力做功**
* 没有t



**动能定理使用步骤：**

1. 确定研究对象和运动过程
2. 分析受力和各力做功情况
3. 明确初末状态的动能，列式求解



动能定理：$E_k=\frac 1 2mv^2$

力在时间积累：$I=Ft=mat=m(v_t-v_0)$（I：冲量，是矢量）



**合外力做功=动能变化量**

> 动量守恒条件：
>
> 1. 外力冲量=0
> 2. 合外力=0（满足第2条一定满足第1条）
> 3. $F_内>>(远大于)F_外$
>
> 动量守恒I=△P：矢量守恒，有方向
>



解题：

* 确定对象，运动段
* 做功的力的代数和=每个力的动能
  * 某点：此点和v已知的点
  * 某段：2个v已知



## 动量

定义：物体的质量m和速度v的乘积。

公式：p=mv

单位：千克米每秒，符号kg·m/s

> 速度改变是因为a≠0
> 动能改变是因为合外力做功
> 动量改变是因为冲量I=Ft引起的

动量定理：合力冲量=物体动量的变化，所以冲量大小=动量变化量大小，动量变化率就是合外力



差别：

* 冲量是力对时间的累积效应，是过程量

* 动量是物体在某一时刻的运动状态，是状态量

* **冲量的方向与力的方向相同或相反，‌而动量的方向与其速度的方向相同。‌**（平抛，冲量方向竖直向下，动量方向是轨迹的切线方向）

  

> 动量增量方向与合力冲量方向相同，与动量方向不一定相同，比如减速直线运动，动量增量的方向和动量方向相反
>



> 速度变化，动量一定变化（比如匀速圆周，速度方向一直在变）
>
> 速度大小变化，动能才变
>
> **动量不变，动能一定不变**
>
> 动量相等，动能相等不能互推，m，v的关系可能不同



## 动量的计算

定义：末状态和初状态动量的矢量差$△p=mv-mv_0$。

同一条直线上遵循代数运算法则；不在同一条直线上：方向初-末/平行四边形法则

因为动量是矢量，需要选取正方向，动量：与正方向相同是正，相反为负。△p的方向与初末动量没关系， 与△v方向一致。平抛运动为例，△v与合外力方向一致



动量和动能的区别和联系：

* 动量是矢量（因为v是矢量），动能是标量，所以动量变，动能不一定变，但动能变，动量一定变
* 动量p=mv，动能$E_k=\frac 1 2 mv^2$，所以**大小关系**是$2mE_k=p^2$



求动量△p，要**先选正方向**，一般确初动量方向为正方向，是正值。



动量变化率：$\frac{△p}{△t}$



## 冲量

定义：作用在物体上的力和力的作用时间的乘积，叫该力对这个物体的冲量，用字母l表示。

公式：I=Ft（重力冲量：I=mgt）

单位：牛·秒，N·s

> 做功是2矢量相乘，W=Fxcosθ
>
> 冲量直接I=Ft，1矢量1标量，**没有cosθ**



冲量是矢量，方向由力的方向决定，但不一定跟力的方向相同。若为方向恒定的力，则冲量的方向跟力的方向相同



一段运动过程中，比如匀速圆周，合外力方向时刻变化，但是始终指向圆心，不做功。



动能可能为0，做功为0，但是**F，t不为0，冲量一定不为0**





冲量的计算：

* F为恒力/合力：I=Ft
* 物体没有竖直运动，重力冲量还是mgt
* 变力：
  * 力的平均值：F必须是线性关系
  * 动量定理：F-t图像中，面积为力的冲量
  * 如果在物体运动的整个过程中不同阶段受力不同，则合冲量为各个阶段冲量的矢量和

* 如果物体受力，但是是匀速直线运动，冲量为0

> 变力冲量：I=△p
> 曲线运动：$△p=F_合t$
>
> 某一瞬间冲量作用：$I=mv_0-0，v_0=\frac I m$



## 动量定理

内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量

表达式：$Ft=m△v或I=△p$

解释：

* 矢量式。F指物体所受的合力，I是合外力冲量
* **冲量=动量的变化量**
* $F=\frac{△p}{t}$，动量变化率=合力

说明：

* =：因果关系。**物体受到冲量作用，必然导致物体动量改变**
* △p=末动量-初动量，要先确定正方向，一般选初速度，初动量方向
* 研究对象：可以是单个物体/系统。对系统，内力的作用不改变系统的总动量，外力的总冲量等于物体的动量变化量
* 适合解决：作用时间极短的运动过程，比如碰撞



解决问题：

* 定性分析

  * △p不变：F与t的关系。比如玻璃杯落地
  * $F_合$不变：△p与t的关系

* **题目给的是位移/路程，用动能定理；给t，用动量定理**

  * $△p=mv-mv_0$，△p是负，说明动量改变量方向与选定的正方向相反（落地，然后反弹一定高度问题，看的是落地瞬间前后动量改变，不是最初/最终v=0。落地反弹瞬间$v=\sqrt{2gh}$，但是h是反弹高度）
  * 求平均作用力：$Ft=△p→\overline F=\frac{△p}{t}$
  * 恒力作用下$△p=F_恒t$，比如斜抛，只受重力作用△p=mgt

* 变力冲量：I=△p，变力冲量看动量改变量

  

## 动量守恒定律

系统：存在相互作用的几个物体所组成的整体。系统可按解决问题的需要灵活选择

内力：系统内各个物体间的相互作用力称为内力

外力：系统外其他物体作用在系统内任何一个物体上的力，称为外力



动量守恒定律：如果一个系统**不受外力或者所受外力的矢量和为零**，这个系统的总动量保持不变。

动量守恒定律成立条件：

* 理想条件：系统不受外力或者所受外力之和为零
* 近似条件：系统受外力远小于内力，可以忽略不计
* 系统在某一个方向上所受的合力为零，则在该方向上动量守恒



| 动量守恒定律的表达式            | 具体含义                                                     |
| ------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| p=p'                            | 系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p'              |
| $m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$ | 相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量等于作用后的动量和 |
| $△p_1=△p_2$                     | 相互作用的两个物体动量的增量等大，反向                       |
| △p=0                            | 系统总动量的增量为0                                          |

动量守恒定律的理解

* 矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程，对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应该**选取统一的正方向**
* 瞬时性：动量是一个状态量，动量守恒指的是任意时刻的动量相同。列方程时，应是作用前物体的动量和等于作用后物体的动量和
* 相对性/同一性：定律中的速度都是相对于同一参考系的。如果题中给出的速度是物体间的相对速度，应转换为相对同一参考系的速度
* 整体性：等号左右对应同一个系统
* 普适性：定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统



动量守恒定律能解决的物理问题（共同特点：作用时间短，内力作用大）：

* 碰撞
  * 弹性碰撞（无机械能损失）
  * 非弹性碰撞
  * 完全非弹性碰撞（碰撞后黏在一起），机械能损失最多
* 爆炸
* 反冲



简单物体，**判断是不是动量守恒：**

1. 画出系统内所有物体受力分析
2. 看一对相互作用力是否可相互抵消
3. 水平方向上不存在任何力=单一方向动量守恒
4. 竖直方向合外力矢量和为零=系统动量守恒

弹簧/结构复杂：整体受力分析，水平方向好判断，竖直方向看有没有加速度



## 题型

### 无法看成质点的动能定理

1. 画初末状态图
2. 对比图像找出变化的部分物体
3. 找出变化物体的质心变化列动能定理



### 斜面摩擦力·斜面距离=水平面摩擦力·水平距离

前提：不受外力；直线



### 多物体动能定理

使用前提：无外部干扰，系统自发运动，如释放小球，小球下落

规定：选取整个运动中达到的最低点为零势能面，没有负号



列3个式子：

* 动量守能定律：E初=E末
* 两物体速度关系
  * 圆周：v=ωr，ω相同，半径之比=速度之比
  * 绳子：沿绳方向分解速度，得出速度关系

* 单个物体动能定理表达式





### 反冲

飞船M，往前冲，$v_0$，m燃料以$v_1$反冲，M-m飞船获得速度$v_2$

$Mv_0=(M-m)v_2-mv_1$



火箭上升：$(M-m)v=mv_0$



#### 人船反冲模型

特点：

* 初状态：$p_1=0$
* 平均动量守恒



$0=m_1v_1-m_2v_2$

$m_1\overline v_1=m_2 \overline v_2$ 。**结论：人动船动，人快船快，人停船停**



**没给v时：两边×t：**

→$m_1x_1=m_2x_2$ ①

$x_1+x_2=x$(x：总相对位移) ②

联立①②

$x_1=\frac{m_2x}{m_1+m_2}$

$x_2=\frac{m_1x}{m_1+m_2}$



> 问题：光滑水平面上一斜劈M，斜劈水平长L，斜劈上有一木块m，木块下滑，导致斜劈反向滑动，求斜劈反向滑动的最大距离x
>
> > 木块下滑v分解成$v_x,v_y$，与斜劈反向的v'水平面方向上满足动量守恒
> >
> > $x_M+x_m=L$
> >
> > $x_M=\frac{m}{m+M}L$
> >
> > $x_m=\frac{M}{m+M}L$
> >
> > 支持力做功：木块前后连线和斜劈斜面不平行





### 碰撞

弹性碰撞：无能量损失

非弹性：有能量损失

完全非弹性：能量损失很大（=撞到共速，这时能量损失最大）



#### 弹性碰撞

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$ ①

$\frac 1 2m_1v_1^2+\frac 1 2m_2v_2^2=\frac 1 2m_1v_1'^2+\frac 1 2m_2v_2'^2$ ②

> 联立化简：两式m1，m2分开，然后②÷①，得
>
> $v_1+v_1'=v_2+v_2'$ 带入①，得
>
> $v_1'=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2}{m_1+m_2}$
>
> $v_2'=\frac{2m_1v_1-(m_1-m_2)v_2}{m_1+m_2}$



$v_2=0$时，是一动一静模型

> $v_1'=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1'$
>
> $v_2'=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1>0$



结论：

* m1=m2时，速度交换
* $m_1<m_2→v_1<0，v_2>0$
* m1<<m2时，m1原速弹回，m2不动
* $m_1>m_2$时，$0<v_1<v_2$，$v_1,v_2$同向
* m1>>m2时，m1速度不变还是$v_1$，m2最大速度是2$v_1$



> 连续弹性碰撞，传递系数
>
> $k_v=\frac{v_2'}{v_1}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}$
>
> $k_p=\frac{m_2v_2'}{m_1v_1'}=\frac{2m_2}{m_1+m_2}$
>
> $K_{E_k}=\frac{E_{k_2'}}{E_{k_1}}=\frac{1/2m_2v_2'^2}{1/2m_1v_1^2}=k_vk_p=\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$

> 弹性碰撞适用，先算共速，快速得出各自末速度：
>
> $v_1'=2V_共-v_1$
>
> $v_2'=2V_共-v_2$



非弹性碰撞：$\frac 1 2mv_0^2-\frac 1 2m_1v_1^2-\frac 1 2m_2v_2^2=△E_K=Q$ 

完全非弹性碰撞：$v_1=v_2$

Q：损失的机械能转化成系统的内能



特点：

* 动量守恒
* 非弹性碰撞：$E_初>E_末$
* 不会发生二次碰撞



#### 完全非弹性碰撞

隐藏条件：末状态共速（粘在一起）



E损=E初-E末

损失去向：发热，重力势能，弹性势能



### 子弹打木块

只要木块不被固定，机械能守恒

#### 未穿出：共速的情况

m，M，μ



1：牛顿定律，受力分析

* m：匀减速，$a_1=\frac f m$，位移$x_1$

* M：匀加速，$a_2=\frac f M$，位移$x_2$（实际非常小）
* 子弹打进木块的距离：$x_1-x_2$

2：动能定理

* m：$-fx_1=\frac 1 2mv^2-\frac 1 2mv_0^2$
* M：$fx_2=\frac 1 2Mv^2-0$
* 两式相加：$fd(d=x_1-x_2)=\frac 1 2mv_0^2-\frac 1 2(m+M)v^2=Q$

3：动量守恒：$mv_0=(m+M)v$





所以：

* fd=Q，功能关系

* $Q=△E_K$，机械能守恒

结论：木块$x_2$位移极小，可忽略



#### 子弹穿出

$mv_0=mv_1+mv_2$

$\frac 1 2mv_0^2-(\frac 1 2mv_1^2+\frac 1 2mv_2^2)=Q=fL$

L：子弹穿过木块的距离



### 木块在木板上滑动

木块与木板不光滑，木板与地面光滑。木块有初速度在木板上滑，最后共速

m：$a_1=μg$

M：$a_2=\frac{μmg}{M}$



地面光滑：水平方向上系统动量守恒

$mv_0=(m+M)v_共$

m：$-f_1x_1=\frac 1 2 mv_1^2-\frac 1 2mv_0^2$

M：$f_2x_2=\frac 1 2Mv_2^2-0$

$f(x_1-x_2)=\frac 1 2Mv_0^2-(\frac 1 2 mv_1^2+\frac 1 2mv_0^2)$

$→fl=△E_K=Q$，摩擦力做功只能转化成热能



### 爆炸

特点：

* t极小
* 内力作用极大>>（远大于）外力作用：动量守恒
* 机械能增加（化学能转化成机械能）

规律：动量守恒



### 碰撞中的可能值

前提：动量一定守恒，E初≥E末



碰撞后速度范围：共速速度~弹性碰撞的速度，可以取等号

损失能量范围：0~共速



#### 动量变化可能值

一定存在的约束：两物体动量变化量和为0

若m未知，存在最极端情况，前方物体质量无穷大，后方物体初动量为P，碰撞后反弹为-P，只能无限接近不能去等号。





后方物体动量变化范围：(**-2P**,0)，（P到-P，末减初是-2P）

又因为动量守恒，前方物体动量范围：(0,2P)



若m已知，本质是求速度范围



### 凹槽模型

带半圆凹槽/1/4圆



只要地面光滑，动量一定守恒



地面光滑，小车左边水平，最左边是A点，右边是1/4圆，最高点B点，从A点往右抛球。

* 小球做斜抛运动
* 小球相对小车往上运动，水平方向共速
* 小球会落回B点



A到B是共速模型，损失能量为小球的重力势能

A到B再回A：是弹性模型

B到A：是爆炸模型



# 静电场

库伦：库伦定律

法拉第：电磁感应

霍尔：霍尔效应的应用，传感器等

洛伦兹：带电粒子在磁场中的运动



库仑力，电场强度方向都是先带入数值计算，后判断方向



**只有一根电场线无法确定是什么电场**

## 电荷及其守恒定律

### 电荷

自然界只存在两种电荷：正电荷、负电荷

丝绸摩擦过的玻璃棒带正电

毛皮摩擦过的橡胶棒带负电



同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引



> 不带电：净电荷=0



两带电物体接触后带多少电：分正负，加起来再平分



验电器功能：

* 是否带电，张角越大，电量越多

* 已知一个物体电荷，另一个接触时，同种电荷：张角变化；异种电荷：张角合上再张开



### 三种起电方式

摩擦起电：本质是电子转移

接触带电：带电的物体与另一个导体接触，一部分电荷转移到这个导体上。特点：材质大小相同，先中和，后平分

感应起电：一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体一端带异号电荷。这种现象叫静电感应



### 电荷守恒定律

内容：电荷不会创生，也不会消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体一部分转移到另一部分；转移过程中，电荷总量保持不变。

另一种表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。



特例：电子湮灭



### 元电荷

电荷量：电荷的多少。单位：库伦（C)

元电荷e：电子（或质子）的电荷量$e=1.6×10^{-19}C$称为元电荷。元电荷是最小的电荷量。自然界任何带电体的电荷量都是元电荷的整数倍

* 元电荷是最小的电荷量，不是带电体
* 质子和电子均是带电体，所带的电荷量等于元电荷。不能说质子或电子就是元电荷



电子的比荷：电子的电荷量e与电子的质量$m_e$的比。$\frac{e}{m_e}=1.76×10^{11}C/kg$

荷质比：q/m



## 库仑定律

### 点电荷

当带电体间的距离比它们自身大小大得多，以至于带电体形状、大小、电荷分布状况对他们之间作用力的影响可忽略时，这样的带电体可看做带电的点，即点电荷



### 库伦定律

内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上(与万有引力定律都遵循“平方反比”规律)

表达式：$F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$。q：电荷量（电量），单位c（库伦）。 r：两点电荷间距离。k：静电力常量/静电常数

国际单位制中：$k=9.0×10^9N*m^2/C^2$



**适用条件**：

* 真空中（空气中也近似成立）
* **静止**的**点电荷**
* r=0不适用



理解：

* 两个带电体间的库伦力是一对作用力和反作用力
* 带入公式计算时，一般将电荷量的绝对值带入，然后根据同种电荷相斥，异种电荷相吸判断力的方向
* 当电荷均匀分布在两个球体上时，r为两球心间距离



仅受电场力作用：

* 电场线是直线：粒子在某点所受电场力方向一定与该点所在轨迹的切线平行
* 电场线是曲线：受力指向曲线凹侧



### 静电力的叠加

两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于这个点电荷单独对这个电荷的作用力的矢量和



#### 三个自由点电荷的平衡问题

条件：另外两个点电荷在某个电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库伦力必须大小相等，方向相反

规律：三点共线，两同夹异，两大夹小，近小远大



## 电场强度

### 电场

定义：电场存在于电荷周围，是传递电荷间相互作用力的一种特殊物质状态

基本性质：对放入其中的电荷有力的作用，即电场力（库仑力），同时能使放入其中的电荷具有能量

静电场：静止电荷产生的电场



试探电荷（检验电荷）：用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的电荷。特点：尺寸足够小，电荷量足够小

场源电荷（源电荷）：产生被检验电场的电荷



### 场强/电场强度

定义：放入电场中某一点的电荷受到的电场力F跟它的电荷量q的比值（描述电场力的性质），**只由电场本身决定的物理量，与引入电荷无关**

矢量式：$E=\frac{F}{q}$，F：试探电荷受到的电场力。q：引入的试探电荷的电荷量

方向：电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点受到的静电力的方向相同，与负电荷相反

单位：1V/m=1N/C



|              | **点电荷适用**      | 力   | **匀强电场适用** ×d= | 功   | =-△    | 能   |
| ------------ | ------------------- | ---- | -------------------- | ---- | ------ | ---- |
| 与q有关，    | $F=\frac{kQq}{r^2}$ | F    | W=Fd                 | W    | W=-△Ep | Ep   |
| ÷q↓          |                     | F=qE |                      | W=qU |        | Ep=φ |
| 电场自身属性 | $E=\frac{kQ}{r^2}$  | E    | U=Ed                 | U    | U=-△φ  | φ    |

| 场强公式\区别                  | 物理含义                 | 引入过程                          | 适用范围                          |
| ------------------------------ | ------------------------ | --------------------------------- | --------------------------------- |
| $E=\frac{F}{q}$                | 电场强度的定义式         | E与F、q无关，反映了某点电场的性质 | 一切电场                          |
| $E=k\frac{Q}{r^2}$             | 真空中点电荷场强的决定式 | 由E=F/q和库伦定律导出             | 在真空中，静止，场源电荷Q是点电荷 |
| $E=\frac U d$                  |                          |                                   | 匀强电场                          |
| $E=\frac{4πkQ}S → E∝\frac Q S$ | E：单位面积场强，S：面积 |                                   | 电容                              |

匀强电场中：

* 平行四边形两个对角线上的电势和相等

* 一条线段AB被C分开，两段电势差之比等于长度值比，$U_{AC}:U_{CB}=l_{AC}:l_{CB}$。（可通过电势之比和长度之比计算电势，或者求指定电势所在线段的位置；相同电势点的连线作为等势面，作垂线为电场线，高电势指向低电势）

* $U=\frac W q= \frac{Fdcosθ}{q}=Edcosθ$



> 公式里有F，q全都正；没F，带正负



### 特殊场强叠加

* 圆环：圆心E=0
* 圆球：看成点电荷（空心球：内部场强处处为0），过圆心，垂直圆面的直线，从圆心到圆外场强先↑后↓
* 金属板：看成等量异种电荷

非点电荷电场：根据已知E，对称

多点电荷电场：分成两部分分析



### 电场强度的叠加

电场的叠加原理：电场中某点的电场强度等于该点周围各个点电荷单独存在时该点产生的场强的矢量和

计算：平行四边形定则



### 电场线

电场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，这样的曲线叫电场线

性质：

* **曲线的疏密描述电场强弱**。曲线上某点的切线方向等于该点电场强度的方向
* 电场线是假想的线
* 静电场中，电场线从正电荷（或无限远）出发，终止于无限远（负电荷），是**不闭合**的曲线
* 电场线不会在没有电荷的地方中断，也**不会相交**

> 电场线/等势线/磁感线：密大疏小

粒子运动与电场线重合：

* 静止释放，仅受电场力+电场线为曲线：不重合

* 静止释放，仅受电场力+电场线为直线：重合

## 电势能和电势

### 静电力做功的特点

在电场中静电力做功与电荷路径无关，只与始末位置有关

公式：$W_{AB}=qU_{AB}$（U：始末位置间的电势差（先计算大小，后判断±））

说明：

* 适用于任何静电场

* 电势差的值与电势零点的取值无关



### 电势能

定义：由于移动电荷时静电力做的功与移动的路径无关，电荷在电场中也具有的势能



电荷在某点的电势能：$E_p=φq$（带正负）



**静电力做的功等于电势能的减少量**：$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}(E_{pA}$：电荷在A点的电势能，$E_{pB}$:电荷在B点的电势能。 W：电荷从A到B过程中静电力做的功)($W_电=-△Ep_电$)

* 静电力对电荷做正功，电荷的电势能减少；负功：增加
* 电荷在某点的**电势能（需要零势能点），等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功**，即$W_{A0}=E_{pA}-E_{p0}=E_{pA}$
* 电势能是标量，正负表示大小
* 电势能属于电荷和电场组成的系统
* 相对性：通常取无限远处大地表面为电势能的零点（与零势能参考面的选取有关



### 电势

定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值。用符号φ表示

公式：$φ=\frac{E_p}{q}$（E：电荷在该点的电势能，q：电荷的电荷量，φ：电势）

> 点电荷电势：$φ=\frac{kQ}{r}$

电势差：$U_{AB}=φ _A-φ _B$，$U_{AB}=-U_{BA}$（初-末，正负表示电势高低关系）

> $W=-△E_p$

单位：1V=1J/C

性质：

* 标量，但分正负（数轴量，右边数比左边大） 
* 相对性：无穷远点/大地为零电势点
* 反映电场自身性质的物理量，与试探电荷无关
* **沿着电场线方向，电势降低**
* 电场中同一点，正负电荷电势能不同



沿着电场线方向（正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势能低处电势能大）

* +q：正功，电势能↓

* -q：负功，电势能↑

**电势的高低：沿着电场线方向，电势降低最快**



> 正/负电荷周围φ为正/负



物理意义：电势是描述电场的能的性质的物理量。电势由电场和电势零点决定，与放入电场中的试探电荷无关





标矢性：电势是标量，可以为负值。负值表示这个点的电势比零电势还低

零点电势面（点）的选取：**一般点电荷形成的电场中取无限远处的电势为零电势点**，实际应用中常取大地的电势为零



均匀电场中：两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向距离的乘积

公式：$U_{AB}=Ed$(d:沿电场强度方向的距离，E：均匀电场的电场强度)​

单位：1V/m=1N/C



|              | 中垂线场强 | 中垂线电势                                         | 连线场强                     | 连线电势                                           |
| ------------ | ---------- | -------------------------------------------------- | ---------------------------- | -------------------------------------------------- |
| 等量异种电荷 | 近大远小   | 恒为0                                              | 两大夹小：场强两边大，中间小 | 正正负负                                           |
| 等量同种电荷 | 零大零     | 中点：正（电荷）连最小中垂（线最）大（负电荷相反） | 两大夹零                     | 中点：正（电荷）连最小中垂（线最）大（负电荷相反） |

2电荷连线上（内：两点之间线段；外：两点之外射线）场强：异种内大外小；同种内小外大	



### 等势面

定义：电场中电势相同的各点构成的面

特点：

* 电场线跟等势面垂直
* 电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面（沿电场线方向等势面的电势降低）
* 同一电场中，电场线越密集的地方，等势面也越密集。匀强电场中等势面是一组等距平行的平面（场强大，等势面密）
* 在同一等势面上移动电荷，电场力不做功
* 任意两个等势面都不相交
* 处于静电平衡状态的导体是等势体，表面是等势面
* 两电荷连线，同种电荷：中点电势最低，过中点的中垂线上，中点电势最高



匀强电场等差等势面是距离相等的平行线；点电荷等势面，R越大，场强越低，所以等差等势面圆半径差线性增长

等差等势面越密，场强越大



**接地：电势为0**



### 匀强电场推论

两边平行，电压与长度成比例。解决问题：

* 平行四边形，知道3点电势，求第4点电势
* 正六边形，知道3点电势，求另外3点电势





## 静电现象的应用

### 静电平衡状态下的导体

静电平衡状态：不带电导体放入电场中时，自由电子由于库伦作用发生定向移动形成反向电场，直到导体内部各点的合场强为0，自由电子不再定向移动，导体达到了静电平衡状态

静电平衡状态下导体的特征：

* **内部电场场强处处为0**
* 导体表面附近任意一点的场强方向与该点的表面垂直
* 静电平衡状态下的导体是个**等势体**，表面是个等势面（导线连接两边，没电流）



导体上电荷的分布：

* **导体电荷只在表面**
* 导体外表面，越尖锐的位置电荷密度越大，凹陷的位置几乎没有电荷



尖端放电（避雷针）：导体尖锐部位的电荷特别密集，附近的电场很强，会产生尖端放电。高压电气设备的金属元件表面要混光滑，就是为了避免尖端放电造成电能损失或事故



接地+感应起电的意义：

* 靠近电荷**近端感应起电**，远端不带电（近端接地也一样）
* 接地导体电势为0
* 电势为0，不代表不带电



**带电导体只会外表面带电**。比如带电球放空心球壳里，外表面带电

> 特例：空心球里边中心有带正电体，球壳内表面感应出负电，外表面正电。这时不管内外表面接地，都是内表面负电，外表面不带电



### 静电屏蔽

定义：由于静电感应，金属网罩或金属壳把外电场挡住，使其内部的场强为0，遮挡了外界电场对内部的影响。这种现象叫静电屏蔽



屏蔽外部：直接金属罩

屏蔽内部：金属罩+接地（不接地外部还是有电场线）



## 电容器的电容

### 电容器

构造：任何两个彼此绝缘又相距很近的导体，都可以看成一个电容器

作用：容纳电荷



#### 电容器的充放电

充电：把电容器两个极板分别与电源的正、负极相连，两个极板将分别带上等量异号电荷

放电：用导线把充电后的电容器的两极板接通，两极板上的电荷中和，电容器又不带电了



充电过程特点：

* 电流流向正极板，电流由大到小
* 电容器所带电荷增加
* 电容器两极板间电压升高
* 电容器中电场强度增强
* 充电结束后，电容器所在电路中无电流，电容器两极板间电压与充电电压相等

放电过程特点：

* 有电流从正极板流出，电流由大到小
* 电容器所带电荷量减少
* 电容器两极板间电压降低
* 电容器中电场强度减弱
* 电容器放电结束后，电路中无电流



> 接电源：U不变
>
> 断电源：Q电荷量不变



### 电容

定义：电容器所带电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值

定义式：$C=\frac{Q}{U}$，Q：电容器所带电荷量。U：电容器两极板间的电势差，C：电容器的电容（U-Q图，斜率是1/C）

单位：法拉/法/F，常用单位还有微法(μF)，皮法(pF)， $1F=10^{6}μF=10^{12}pF$

物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量，由本身结构决定，和电压，带电量无关





**电容器带电容是单个极板所带的电量**



### 平行板电容器的电容

定义式：$C=\frac{Q}{U}$

决定式：$C=\frac{\epsilon S}{4πkd}$（$\epsilon$: 电介质的相对介电常数， S：两极板的**正对面积**，d：极板间距离， k：静电力常量$k=9.0×10^9N·m^2/C^2$）仅使用平行板电容器

> $\epsilon$：读音：厄普西隆。两板之间绝缘介质绝缘大小，≥1。真空中=1。两板间放东西值肯定变大





两类典型问题：

* U不变（接电源）
* Q不变（不接电源，断开开关）

> 根据3个公式，改变某个值，判断C,Q,E如何变化
>
> 定义式，决定式，E=U/d

如果U，d都减小无法判断，换公式：

> $E=\frac{Q}{Cd}=\frac{Q}{d\frac{\epsilon S}{4πkd}}$$=\frac{4πkQ}{\epsilon S}$
>
> 如果是d变化，这时场强不变，因为表达式没有引起变化的d→结论：**改变两板距离，场强不变**



电场中的导体稳定后：

* 带电特征：电荷分布在外表面
* 电场特征：合外力为0(E=F/q=0)，$E_合=0$（导体内部的合场强处处为0）：原场强E≠0，重新分布后场强E'≠0，两场强等大反向，E'是感应电场（导体中电子移动，因合场强为0，电场力做功为0，电势差为0，电势为0）
* 导体是等势体，表面是等势面



电势：

* 连接电源，U不变，外移：正（极板电势变）小负大，接地无关
* 断开电源，Q不变，外移：正（极板接）地小负地大，非地（非接电极板）不变 



### 电容器的额定电压与击穿电压

击穿电压：超过极限电压造成电介质击穿的电压

额定电压：电容器长期工作时所能承受的电压



### 静电计和电容器的电路

静电计：测电压的



电容器在电路的符号：┤├ （稳定后相当于理想电压表）



## 带电粒子在电场中的运动

注意带电粒子**忽略重力**时：合外力=电场力，只在电场力作用下运动，动能和电势能相互转化。粒子电荷量不为0=合外力不为0，不可能匀直



运动：

* 平衡：静止，匀速直线运动→只有微粒，mg=qE
* 匀变速直线
* 类平抛运动



匀强电场中：

动力学：F=ma→$a=\frac{qE}m=\frac{qU}{md}$（E=U/d) 

能量：$W=qU=△E_k$



加速：$qU_1=\frac 1 2mv^2$

偏转：

* $y_1=\frac 1 2at^2=\frac 1 2\frac{qU_2}{md}（\frac{l_1}{v_0}）^2$
* $tanθ=\frac{at}{v_0}=\frac{qU_2}{md}\frac{l_1}{v_0^2}$

偏转之后侧移：

* $y_2=l_2tanθ$
* 侧移距离：$D=y_1+y_2=\frac{l_1^2U_2}{4dU_1}+\frac{l_1l_2U_2}{2dU_1}$



减速（正负板距离d，电压U，电子从正板运动到不到负板，距离l，电子v=0）：

> $△E_k=0-\frac 1 2mv_0^2$
>
> $=△E_p=qE(d-l)$
>
> $=q\frac U d(d-l)$
>
> $\frac 1 2 mv_0^2=q\frac U d(d-l)$



### 加速

静电力与运动方向在同一条直线上，做匀变速直线运动



#### 两种处理方法（以初速度为0的粒子在静电力下加速为例）

* 利用运动学公式求解

  设板间距离为d，则场强$E=\frac{U}d$，粒子受到的静电力$F=qE=\frac{qU}{d}$，粒子运动的加速度$a=\frac F m=\frac{qU}{md}$，由运动学公式得$v^2=2ad=2·\frac{qU}{md}·d$，解得$v=\sqrt{\frac{2qU}m}$

* **首选**：利用动能定理求解

  静电力做的功等于粒子动能的变化量，即$qU=\frac 1 2 mv^2, v=\sqrt{\frac{2qU}m}$



### 偏转

受力分析：静电粒子以初速度为$v_0$垂直射入匀强电场中，粒子仅受电场力(F=qE)作用，加速度$a=\frac{qE}m={\frac{qU}{md}}$

运动状态分析：粒子受到垂直于初速度方向的电场力作用，做类平抛运动



类似平抛分解处理：

* 粒子沿$v_0$方向做匀速直线运动，有$x_0=v_0, l=v_0t$
* 粒子在沿电场力方向做初速度为0的匀加速直线运动，有$v_y=at,y=\frac 1 2at^2$
* 粒子在电场边缘射出或是直接射出：板间的运动时间$t=\frac l{v_0}$（x方向做匀速直线运动，l相当于x方向运动距离）
* 侧移距离：$y=\frac 1 2at^2=\frac 1 2(\frac{qU}{md})(\frac l{v_0})^2=\frac{qUl^2}{2dmv^2_0}$

* 偏转角度：$tanθ=\frac{v_y}{v_x}=\frac{at}{v_0}=\frac{qUl}{mv_0^2d}$→$y=\frac l 2tanθ$



偏转，知道初末速度，用动能定理时，$qU=\frac 1 2mv^2-\frac 1 2 mv_0^2$（U不是两板间电压，而是实际偏转距离：两板距离=实际偏转电压：两板电压得出）



### 带电粒子在电场中运动的两个常用推论

#### 若不同的带电粒子从静止经过同一加速电场（电压为$U_0$）加速后，又进入同一偏转电场（电压为U），则由动能定理有$qU_0=\frac 1 2 mv_0^2$

由此可得$y=\frac{qUl^2}{2mv_0^2d}=\frac{Ul^2}{4U_0d}$

$tanθ=\frac{qUl}{mv_0^2d}=\frac{Ul}{2U_0d}$

结论：不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转角度和侧移距离总是相同的



#### 粒子从偏转电场中射出时的侧移距离$y=\frac 1 2at^2=\frac{qUl^2}{2dmv^2_0}$，作粒子的反向延长线，与初速度方向交于O点，O点与电场边缘距离为x，则

$x=\frac y{tanθ}=\frac 1 2$

结论：粒子从偏转电场中射出时，就像是从极板间的$x=\frac 1 2$处的O点沿直线射出的



### 如何判断带电粒子能否通过偏转电场

如质量为m，电荷量为q的带电粒子沿中线以$v_0$垂直射入板长为l，板间间距为d的匀强电场中，

要使粒子飞出电场，则应满足：$t=\frac l{v_0}$时，$y≤\frac d 2$;

若$t=\frac l{v_0}$时，$y>\frac d 2$，则粒子会打在极板上，不能飞出电场



### 示波器+sin电压

示波器，2组电场让电子左右/上下偏转，电子靠近一侧的电容板带正电

> 示波器给定电压选图形的题：两电压图假想x,y坐标（xx'图对应x坐标），比如最高点10，用点坐标跟选项对比位置，用排除法



示波器+sin电压（忽略粒子在偏转场中运动时间，不是直线飞出）：

恰好从极板边缘射出的临界电压：$U_临=\frac{2d^2U_1}{l_1^2}$

> $\frac d 2=\frac{l_1^2U_临}{4dU_1}$
>
> $U_临=\frac{2d^2U_1}{l_1^2}$

有无粒子射出的时间比：

* $U_m≤U_{临}$：粒子全飞出
* $U_m>U_{临}$：有粒子飞出和无粒子飞出的时间

| $U_临:U_m$  | $t_有:t_无$ |
| ----------- | ----------- |
| 1:2         | 1:2         |
| $\sqrt 2:2$ | 1:1         |
| $\sqrt 3:2$ | 2:1         |

屏上亮线长：

* $U_临≥U_m$，$L=2D=2(\frac{l_1^2U_2}{4dU_1}+\frac{l_1l_2U_2}{2dU_1})$



## 题型

### 点电荷

> O点电荷，还有A点+，B点+，距离O点A<B，A，B移到无穷远处克服电场力做功相等，$q_A>q_B$
>
> > 因为AB都正，到无穷远克服
> >
> > 所以O点为负电荷
> >
> > $q_Aφ_A=q_Bφ_B$
> >
> > $φ_A<φ_B$
> >
> > 所以$q_A>q_B$



### 同一直线三小球$q_1,q_2,q_3$,距离为$r_1,r_2$，平衡

> 两同夹异
>
> 两大夹小
>
> 近小远大

> 电荷量之比：$q_1:q_2:q_3=\frac{(r_1+r_2)^2}{r_2^2}:1:\frac{(r_1+r_2)^2}{r_1^2}$
>
> 电量关系：$\frac{1}{\sqrt{q_1}}+\frac{1}{\sqrt{q_3}}=\frac{1}{\sqrt{q_2}}$
>
> 距离关系：$\frac{\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_3}}=\frac{r_1}{r_2}$

### 小球碰触：先中和后平分

1小球分别和2小球无限碰：平分总电荷

> 2小球，A：-4，B：+8，距离r，C小球分别与AB触碰，前后库仑力之比：16:3
>
> 如果AB改为弹簧连接，和16:3有什么变化？
>
> * 碰撞之前F=32，弹簧弹力32，压缩状态
> * 与AB先后触碰，A：-2，B：+3，r↑，16:3分母↓，所以最后F>16/3

两小球碰后**再分开**，库仑力↓，一定是异种电荷

两小球碰后再分开，库仑力↑，不一定是同种电荷



### φ-x与E-x图像

E-x图像：

* **电场线方向**：x轴上方向右；下方向左
* S=Ex=U（面积无正负只有大小）



φ-x图像：

* 电场线方向：顺着电场线电势逐渐降低；逆高（k正向左）

* 斜率k大小就是场强大小（场强方向看k，正左负右）
* k=0，场强为0
* |k|越大，a





### 点电荷电场中，带电粒子是一条曲线运动，判断电荷

不知道点电荷正负，无法判断带电粒子电荷正负

但是能判断电势能和动能变化：根据轨迹，看合外力方向和电荷运动方向的夹角，钝角：减速，锐角：加速（合外力方向指向曲线轨迹的凹面）



### 轨迹问题

三线：电场线，等势线，轨迹线

电场线与等势线垂直

电场线和等势线的疏密都能反应场强



电场线与轨迹线能重合：电场线直线，并且v和F同向



#### 给电场线/等势线，运动曲线，判断电势，电势能，加速度

解法：

1. 画出某点的受力方向：电场线的切线/等势线的垂线（**电场线方向**和负电荷受力方向相反）
2. 方向指向轨迹凹侧
3. 根据力与速度的夹角判断加速减速：轨迹切线



比较a：**加速度**看受力，受力看场强，场强看疏密程度，场强越密集，a越大



知道点电荷正负，可以判断电场方向，电势大小



### 电场中出现圆周运动，一般都要用等效重力场

运动到哪个点速度最大：重力和向右的电场力，复合成右下的等效重力场，根据动能定理算出最大速度

算场强大小：重力和向右的电场力，物体最低点速度0，运动到右下速度0，夹角74°。等效重力场平分了这个这个角度，根据直角边mg，37°，对边是电场力Eq大小



# 恒定电流

### 恒定电流/稳恒电流/直流电路

恒定电场：由稳定分布的电荷所产生的的稳定的电场

恒定电流：大小、方向都不随时间变化的电流

电流产生的条件：

* 内因：导体内存在着能够自由移动的电荷，即自由电荷
* 外因：导体两端有电势差

电流方向：正电荷定向移动的方向

电流大小公式：$I=\frac Q t$，q：通过导体的横截面积的电荷量（总电量=金属导体中：自由电子；电解质中：正负离子总和）；t：通过这些电荷量所用的时间（单位时间流过的电量）。电荷量始终用绝对值计算

单位：安培/安，A($1A=10^3mA=10^6 μA$)



微观表达式：I=nqSv（或者neSv）。n：导体单位体积内的自由电荷数；q：自由电荷的电荷量；S：导体的横截面积；v：自由电荷定向移动的速率

自由电荷：

* 金属中的自由电荷是自由电子，$I=\frac{ne}{t}$
* （电解槽）电解质溶液中的自由电荷是可以自由运动的正、负离子，$I=\frac{|-q|+|+q|}{t}$





## 电动势

电源：通过非静电力做功把其他形式的能转化成电势能的装置

电动势：描述电源把其他形式的能转化为电能的本领的物理量。在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内部从负极移送到正极所做的功，用E表示。

公式：$E=\frac W q$, E：电动势，W：移动电荷，q：非静电力做的功

单位：伏特，符号为V

特点：电动势取决于电源正负极材料及电解质的化学性质。与电源体积无关，与外电路无关。大小等于电路断路时的路端电压



生活中常见的电动势的值：

* 干电池：1.5V
* 铅蓄电池：2V
* 纽扣电池：1.2V
* 锂电池，因材料不同：3V-3.6V不等



电源的内阻：r



### 电动势与电动差的对比

|          | 电动势E                              | 电势差U                            |
| -------- | ------------------------------------ | ---------------------------------- |
| 物理意义 | 非静电力做功，其他形式的能转化为电能 | 静电力做功，电能转化为其他形式的能 |
| 定义式   | $E=\frac W q$，W为非静电力做的功     | $U=\frac W q$，W为静电力做的功     |
| 单位     | V                                    | V                                  |

联系：$E=U_内+U_外$, 电动势等于电源未接入电路时两极间的电势差



## 欧姆定律

内容：导体中的电流I跟导体两端的电压U成正比，跟导体的电阻R成反比

公式：$I=\frac U R$

适用范围：

* 金属导电或电解质溶液导电
* 纯电阻电路（不含电动机、电解槽等的电路）



#### 两公式对比

|                | 含义         | 适用范围           |
| -------------- | ------------ | ------------------ |
| $I=\frac U R$  | 电流的决定式 | 只适用于纯电阻电路 |
| $I=\frac q t $ | 电流的定义式 | 任何导体都适用     |



电阻：是导体两端所加电压与通过导体的电流的比值，描述导体对电流的阻碍作用

公式：$R=\frac U I$

单位：欧姆，简称欧，符号Ω，还有千欧kΩ，兆欧MΩ



导体的电阻是导体本身的一种性质，大小决定于材料的性质、几何形状和温度，不能认为导体电阻跟导体两端电压成正比，跟导体中的电流成反比



### 导体的伏安特性曲线

定义：I-U图图像，纵坐标I，横坐标U



|            | 定义                | 特点                                                         | 举例             |
| ---------- | ------------------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------- |
| 线性元件   | I-U图过原点，是直线 | 直线的斜率表示导体电阻的倒数。因此，斜率越大，导体电阻越小   |                  |
| 非线性元件 | 不过原点/不是直线   | I-U图像是曲线时，某点导体电阻$R_n=\frac{U_n}{I_n}$，是该点和**原点**连线斜率倒数值，不是切线斜率倒数 | 二极管、气态导管 |

非线性元件代表：电灯泡T，I，U，P↑，R↑

欧姆定律不适用非线性元件





## 串联电路和并联电路

|          | 串联电路                                                     | 并联电路                                                     |
| -------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| 电流     | 各处电流相等                                                 | 总电流等于各支路电流之和，且电流分配与电阻成反比<br />$I_1R_1=I_nR_n$ |
| 电压     | 总电压等于各部分电压之和，且电压分配和电阻成正比<br />$U=U_1+...+U_n,\ \frac{U_1}{R_1}=\frac{U_n}{R_n}=I$ | 各支路两端电压相等                                           |
| 总电阻   | 总电阻等于各电阻之和，<br />$R_总=R_1+...+R_n$               | 总电阻的倒数等于各电阻倒数之和，<br />$\frac{1}{R_总}=\frac{1}{R_1}+...+\frac{1}{R_n}$ |
| 功率分配 | 功率分配和电阻成正比<br />$\frac{P_1}{R_1}=\frac{P_n}{R_n}=I^2$ | 功率分配和电阻成反比，<br />$P_1R_1=P_nR_n=U^2$              |

串联：电压之比=电阻之比

并联：电流之比=电阻的反比



有关总电阻的几个常用推论：

* 串联电路的总电阻大于其中任一部分电路的电阻；并联电路的总电阻小于其中任一支路的电阻
* n个相同的电阻并联，总电阻等于一个电阻的1/n：$R_总=\frac{1}{n}R$
* 两个电阻并联时的总电阻$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
* 无论串联或并联，其中任意一个电阻增大或减小，总电阻也随之增大或减小



> 导线通过用电器，电势会降低
>
> 画等效电路：过用电器，φ下标+1



## 电表

> 表头：有微弱电流就会偏转，电路符号：G
>
> 缺点：量程小，需要并联电阻。

电流表相当于表头+并联小电阻（小电阻电流大），防止烧坏

电压表相当于表头+并联大电阻（分压）



电表改装：

1. 判断改电压表/电流表，确定扩大倍数
2. 计算出原有基础上需要增多多少电流/电压
3. 根据串并联电路归路计算



## 焦耳定律

### 电功和电功率

#### 电功

定义：电流在一段电路中所做的功等于这段电路中的电流I，电路两端的电压U和通电时间t三者的乘积

公式：W=UIt

单位：焦耳，简称焦，符号J

实质：电流通过一段电路做的功，实质是静电力在这段电路中做的功

意义：电流做功的过程是把电能转化为其他形式的能，即电功是电能转化成其他形式的能的度量

#### 电功率

定义：单位时间内电流所做的功叫电功率

定义式：$P=\frac W t=UI$

单位：瓦特，简称瓦，符号W



### 焦耳定律

#### 焦耳定律

内容：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻及通电时间成正比

表达式：$Q=I^2Rt$，可求任何电路中电流I通过电阻R产生的热量，即电热

#### 热功率

定义：单位时间内的发热量

公式：$P=\frac Q t=I^2R$

实质：电能转化为内能的那部分功率



### 纯电阻电路和非纯电阻电路

纯电阻电路$UIt=I^2Rt$：电能全部转化为内能，如电热毯、电炉等

非纯电阻电路$UIt>I^2Rt$：电能转化为内能+其他形式的能，如电动机等



## 导体的电阻

### 导体的电阻

电阻定律：同种材料的导体，其电阻R和它的长度l成正比，与横截面积S成反比；导体电阻与材料有关

公式：$R=ρ\frac l S$，l：长度，S：横截面积，ρ：导体材料的电阻率



电阻率ρ：

* 反映导体材料导电性能好坏，由导体材料本身性质决定
* 和温度有关
  * 金属电阻率随温度升高而增大：电阻温度计
  * 半导体材料的电阻率随温度升高而减小
  * 有些合金如锰铜/镍铜合金，电阻率几乎不受温度变化的影响，常用来制作标准电阻



## 闭合电路的欧姆定律

E=U外+U内

$E=U_外+Ir_内$





路端电压与电流的关系：$U_路=E-Ir$

k<0的直线

* 纵轴截距：E，电流为0时的路端电压：开路电压（电动势）

* 横轴截距I：外电压为0时的电流：短路电流

|k|：电源内阻r

①表示整个电路，反映了电源的性质，可以直接读出E,r

②表示部分电路（外电路）欧姆定律，只针对某个电阻

特殊情况：斜率很小/内阻很小，E最小值不是0时，算电阻要减去这个E



电源输出功率$P=U_外I$（某点UI直接相乘）

电源总功率P=EI（E和某点的I相乘）



过原点直线k=R外



### 串反并同

前提：单一变量，正常电源（不正常电源：没内阻/题目特意说明输出电压/外电压一直不变）



短路：R↓=0

断路：R↑=∞



使用：

1. 判断电阻R如何变化：看（别的电器和R）串并联（电压表也适用）
2. 串联：电流电压的变化与电阻变化相反；并联相同



### 闭合电路的欧姆定律

内容：闭合电路的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻和成反比

公式：$I=\frac E{R+r}$， E：电源电动势，R：外电路电阻，r：电源内阻

其他几种表示形式：

* 电压形成：$E=U+U_内，E=IR+Ir, E=U+Ir$，电源电动势在数值上等于内、外电压之和
* 能量形式：$EIt=UIt+I^2rt$
* 功率形式：$EI=UI+U_内I 或 EI=UI+I^2r$

**闭合电路中，只有E和r不变，其他都可能变**



### 闭合电路中的能量转化关系

> η 伊塔Eta 大写Η 

电源(消耗)功率（即电路消耗总功率，相当于输入功率）：$P_总=EI$

外电路消耗功率（即电源**输出功率**）：$P_出=U_路I$，如果$=I^2R$，是纯电阻电路

电源内阻消耗功率（热功率：损失功率）：$P_内=I^2r_内$

电源的效率：$η=\frac{P_出}{P_总}=\frac{UI}{EI}=\frac U E$，当外电路为纯电阻电路时$η=\frac{R}{R+r}=\frac{1}{1+\frac{r}{R}}$

电源输出功率随外电路电阻变化的关系：当E,r为定值，外电阻R变化时，$P_出=UI=\frac{E^2}{(R+r)^2}R=\frac{E^2}{\frac{(R-r)^2}{R}+4R}$。讨论函数极值可知：

* 当R=r时，输出功率有极大值，且$P_出=\frac{E^2}{4r}$
* 当R<r时，随着R的增大，输出功率增大
* 当R>r时，随着R的增大，输出功率减小




功率守恒：$P_{输入}=P_{输出}+P_内$

> $P_入=UI$，UI不完全等于$I^2r$，只有热功率$P_热=I^2r$。W一般>热功率



电路系统：$EI=UI+R_内(I^2r)$

电动机：UI（输入功率就是电路的输出功率）=$P_{机}（机械功率）+P_{内}(I^2r)$



电池：

* 串联：组成电池组，$E_总=E_1+E_1，r_总=r_1+r_2$
* 并联：$E_总=E，r_总=$内阻倒数和



### 闭合电路的两种计算

一个方程：已知内阻和电动势

两个方程：内阻和电动势未知



### △U，△I问题

△U/△I：

* 定值：就是研究对象的R

* 改变：R其他的R值总和，包括r



比较△U：除I，比较R



### 最值功率问题

若研究对象是定值：R0=0时，功率最大

若研究对象在改变：R0=R其他时（比如R=R1+r），功率最大



## 简单的逻辑电路

### 门电路

数字信号在变化中只有两个状态：有或没有，即0或1

处理数字信号的电路叫数字电路

门：一种满足一定条件才允许信号通过的开关



与 或 非



## 题型

### 闭合电路动态变化问题

串反并同：滑动变阻器串联的电阻上的电压、电流、电功率变化趋势和滑动变阻器电阻值变化趋势相反，和滑动变阻器并联的电阻上的电压、电流、电功率和滑动变阻器电阻值变化趋势相同

> **重点在于识别串联和并联，这个结论里的串联和并联不是通常意义上的串并联，而是广义串联和并联。在混联状态下，从电源出发，凡是能和变阻器连成一个回路的，都与之是串联，凡不能连成回路的，都与之是并联。**

准备工作：

1. 先看电表测量对象
2. 等效电路



局部R↑，总电阻↑，电流I↓→内电压↓，路端电压↑



### 含电容C电路的电量变化（有三个相关公式）

电路由一个稳态到另一个稳态，电容器所带电量的变化（电容器往往和电阻并联）

$C=\frac{△Q}{△U}→△Q=C△U$



# 磁场

## 磁现象和磁场

磁性：能够吸引铁质物体的性质

磁体：具有磁性的物体。天然磁石和人造磁体都叫永磁体

磁极：磁体各部分磁性强弱不同。磁性最强的区域叫磁极



### 电流的磁效应

奥斯特先发现：电流周围存在磁场



实验：直导线沿南北方向水平放置，磁针水平放置导线下方或上方。解释：地磁场使磁针指向南北方向，通电直导线能改变磁针的指向说明通电直导线周围产生了磁场



安培：

* 环形电流：电流对磁体有作用力
* 蹄形磁铁：磁体对电流有作用力
* 平行电流：电流和电流有作用力
* 通电螺线管等效成条形磁铁
* 分子电流假说：磁现象的本质是分子电流



### 磁场

定义：磁体或导体通电止周围存在一种特殊物质，能够传递磁体与磁体之间、磁体与通电导体之间、通电导体与通电导体之间的相互作用，这种特殊的物质叫磁场

基本性质：对处于磁场中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用



磁场产生：

1. 磁体周围
2. 电流周围
3. 变化的电场周围

作用：

1. 对磁体（定性）
2. 对电流（安培力，F=BIL）
3. 对运动电荷（洛伦兹力，f=qBV）

描述：

* 定量：大小，磁感应强度$B=\frac{F}{IL}$
* 方向：小磁针N极所指方向



### 地球的磁场

地磁场N极在地球地理南极附近，S极在地球地理北极附近，存在一个偏磁角。

地磁场B的水平分量($B_x$)总是从地球地理南极指向地球地理北极（地球外部）；竖直分量($B_y$)在南半球垂直地面向上，在北半球垂直地面向下

在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度相等，且方向水平向北



## 磁感应强度

意义：描述磁场的强弱

大小：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受的磁场力F跟电流I和半导体导线的长度L的乘积IL的比值等于该处的磁感应强度B

定义式：$B=\frac{F}{IL}$ （F：通电导体与磁场方向垂直时受到的力，I：导线中电流，L：导线长度。FBI：互相垂直）

> L：有效长度，起点到终点

单位：特斯拉，简称特，符号T

方向：在磁场某处，小磁针静止时**N极的指向**即该处磁感应强度的方向，简称磁场的方向

矢量性：磁感应强度是矢量，遵循平行四边形定则



决定式：$B∝\frac I r$，磁场强度，与电流大小成正比，与距离成反比



### 磁感应强度B与电场强度E的比较

|            | 电场强度E                                                    | 磁感应强度B                                                  |
| ---------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| 定义的依据 | 1. 电场对电荷q有作用力F<br />2. 对电场中任一点，有F∝q，F/q=恒量<br />3. 对不同点，恒量的值一般不同 | 1. 磁场对直线电流I有作用力F<br />2. 对磁场中任意一点，F与磁场方向、电流方向有关，只考虑电流方向垂直次长方形的情况有F∝IL，F/IL=恒量（由磁场决定） |
| 引入       | 检验电荷                                                     | 电流元                                                       |
| 定义式     | $E=\frac F q$                                                | $B= \frac F{IL}$                                             |
| 物理意义   | 描述电场的强弱和方向                                         | 表示磁场的强弱和方向                                         |
| 单位       | 1V/m=1N/C                                                    | 1T=1N/(A·m)                                                  |
| 方向规定   | 与正电荷所受静电力的方向相同                                 | 与小磁针静止时N极的指向相同                                  |



## 几种常见的磁场

### 磁感线

定义：在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟这点的磁感应强度的方向一致，这样的曲线叫磁感线。

大小：疏密，不相交；方向：切线，不闭合；**×向里，·向外**



磁场线实际不存在。是闭合曲线。电场线不闭合。



> 磁体外：N→S，磁体内：S→N



### 安培定则（右手螺旋定则）

对直线电流：右手握住导线，让伸直的拇指所指方向跟电流的方向一致，弯曲的四指所指的方向就是磁感线的环绕方向

对环形电流：让右手弯曲的四指与环形电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是环形导线轴线磁感线的方向

对通电螺线管：用右手握住螺线管，让弯曲的四指所指的方向跟电流的方向一致，伸直的拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向



### 匀强磁场

定义：某一区域内磁感应强度大小和方向都相同，这个区域叫做匀强磁场

特点：匀强磁场的磁感线是相互平行且等间隔的直线



## 通电导线在磁场中受到的力

### 安培力

定义：通电导线在磁场中受到的力

方向（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内，让磁感线从掌心进入，并使四个拇指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中受到的安培力的方向

> B扎心，四指I，拇指F



磁场中导线所受安培力：

* 闭合：F=0
* 非闭合：等效为首尾相连的导线/电流相反等大反向

> 磁场中通电电源连等边三角形线框LNM，MN长R，MLN长2R，MN受安培力F，LMN线框（整个）受安培力为：1.5F
>
> 并联分流，MN为I，则LMN为I/2，安培力之比：1:2，总和1.5

### 安培力的大小

I与B垂直时（F，B，I两两垂直）：F=BIL（F⊥BI的平面）

I与B成夹角θ时：F=BILsinθ

**I与B平行时：F=0**



>  同向平行电流相吸，异向电流相斥

> 磁场中的电流不一定受安培力
>
> 电场中的电荷一定受电场力



## 运动电荷在磁场中受到的力（磁场对运动电荷的作用）

### 洛伦兹力

定义：运动电荷在磁场中受到的力

方向（左手定则）：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内，让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向（或负电荷运动的反方向），这时拇指所指的方向就是运动的正电荷（或负电荷）所受洛伦兹力的方向。洛伦兹力的方向与带电粒子在磁场中的运动方向和磁感应强度的方向都垂直

> 洛伦兹力（左手）定则：B扎心，四指I，拇指F

洛伦兹力的大小：F=qvB，方向：和速度v垂直



> F=qvBsinθ(θ：v与b之间的夹角)
>
> * F=qvB(v⊥B或θ=π/2) 
>
> * F=0（v//B或θ=0） 若v//B，带电粒子以速度v做匀速直线运动
>
> 洛伦兹力不为0，q b v sinθ都不能为0，所以条件是带电，在磁场中，速度不为0，v和B不平行
>
> 特点：
>
> * $f_洛$⊥v(洛伦兹力总是和速度垂直)，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动
> * 动能不变动量变
> * 不改变v大小，只改变v方向

#### 洛伦兹力与安培力

* 洛伦兹力是单个运动电荷所受的磁场力。安培力是导线中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现
* **洛伦兹力总不做功**，安培力可以做功



|                    | 洛伦兹力                                | 静电力                                   |
| ------------------ | --------------------------------------- | ---------------------------------------- |
| 大小               | F=qvB(v⊥B或θ=π/2)<br />F=0（v//B或θ=0） | F=qE                                     |
| 与速度的关系       | v=0或v//B时，F=0                        | 与速度无关                               |
| 力与场的方向的关系 | 一定是F⊥B，F⊥v，F方向由左手定则判定     | 正电荷受力方向与电场方向相同；负电荷相反 |
| 做功情况           | 任何情况都不做功                        | 可能做正功，负功或不做功                 |
| 作用效果           | 只改变电荷的速度方向，不改变速度大小    | 可以改变电荷速度的大小和方向             |



## 带电粒子在匀强磁场中的运动

若v⊥B，带电粒子在垂直磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动



f洛=F向：

* 向心力：$qvB=m\frac{v^2}R$
* 半径：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$
* 周期：$T=\frac{2πm}{qB}$（周期与v没有关系，荷质比相同的粒子，周期一样）
* $t=\frac{θm}{qB}$（θ：弧度角）
* 频率：$f=\frac 1 T=\frac{qB}{2πm}$
* 角速度：$ω=\frac{2π}T=2πf=\frac{qB}m$
* 弦长L=2Rsinθ

特殊角：速度偏转角=圆心角=弦切角2倍=入射角2倍=出射角2倍

弦切角：2速度v连线的弦和v夹角，**圆心角=弦切角的2倍**



求运动时间t（射入到射出的时间）：洛伦兹力夹角为θ

* θ是角度：$t=\frac{θ}{360}T$
* θ是弧度：$t=\frac{θ}{2π}T$



通用步骤解决大多数圆周运动问题

1. 入射角=出射角，关于两点连线（平移后）对称
2. **找圆心**：画入射，出射速度的垂线
3. 速度偏转角=圆心角



## 在有界磁场中运动

### 条形有界磁场

解法：画轨迹，定圆心，找半径（知道半径可以求其他所有物理量）



定圆心：圆心位于⊥v的直线上
1. 已知2个速度（入射和出射偏转角，分别作垂线，交点是圆心）
2. 已知1个速度方向和一个点（比如只知道入射点和方向，出射只知道位置不告诉角度，连接两点，作这条线的中垂线，和已知v的垂线，交点是圆心）

求半径，求时间

**对称进出，解在磁场运动的最长时间：同一边入射，出射时，角度相同**

### 圆形有界磁场

沿半径射入：

1. 沿半径射入，必沿半径射出
2. 速度偏转角=偏转圆的圆心角

不沿半径射入：入射角和圆形磁场半径角为θ，两半径角度α=θ+90°



内切：半径之差=圆心距，入射点连线和两圆心连线不一定垂直，用余弦定理求

### 复合场与组合场

复合场：叠加

组合场：拼接



重力和电场力都是主动力，特点相似，都是和路径没关系，和运动状态无关

> 如果带电粒子在匀强电场与匀强磁场的复合场中作匀速圆周运动，则带电粒子电性如何？
>
> > 匀速圆周，必须有一个时刻变化的力指向圆心，洛伦兹力可以办到，因有电场干扰，则重力场和电场平衡才能做匀速圆周，mg=qE，mg向下，qE必向上，所以必带正电



## 题型

### 安培力方向的判断

安培力：磁体/电流周围的磁场对电流/通电导线的作用

#### 磁体周围的磁场

对通电直导线：

1. 先画磁感线
2. 分析受力，磁感线与电流垂直的地方会受力，用左手定则

对通电线圈：根据右手螺旋定则，判断NS极，看和磁铁吸引还是排斥



**判断磁针偏转（N极指向磁感线方向）**



#### 通电导线周围的磁场

以判断一组通电导线受力情况为例：如果说明，就画一条导线（固定不动的导线优先）的磁场，然后根据左手定则判断另一条导线受力情况



结论：通电导线间：同向相吸，异向相斥



### 洛伦兹力

#### 定性分析

氕氘氚，相同v，P(=mv)，$E_k$射入同一磁场，r的关系

v：1:2:3

p：1:1:1

$E_k：1:\sqrt 2:\sqrt 3$



### 复合场与组合场

无偏转通过复合场：直线运动。合外力与速度方向在同一条直线/合力为0

> $F_E=f_洛$
>
> $qE=qBv_0$
>
> $v_0=\frac E B$
>
> 与正负电荷无关，q的大小，质量无关，满足这个速度就能直线通过



# 电磁感应

当磁铁和线圈发生相对运动时，回路中有感应电流；当磁铁和线圈相对静止时，回路中无感应电流



感应电流的产生条件

* 闭合电路（没有闭合电路不能产生感应电流，但是能产生感应电动势）
* 磁通量变化（部分导体做切割磁感线），△φ≠0

## 磁通量

定义：设在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一个与磁场方向垂直的平面，面积为S，B与S的乘积叫穿过这个面积的磁通量，用Φ表示

公式：Φ=BS（S：与B垂直的有效面积），Φ有正负，规定一个方向为正，正负可抵消

单位：韦伯，简称韦，符号Wb，$1Wb=1T·m^2$

物理意义：磁通量表示穿过这个面的磁感线条数。对于同一个平面，当它跟磁场方向垂直时，磁场越强，穿过它的磁感线条数越多，磁通量就越大。当它跟磁场方向平行时，没有磁感线穿过它，则磁通量为0



净磁通：正负抵消的磁通量

> 磁通量△Φ：B，S都可能变化
>
> * 转90°和场强平行：$△φ=φ_2-φ_1=BS-0$
> * 自转180°：△φ=2BS（磁通量是标量，但是有方向，场强穿过平面方向变了）



> 感应电动势
>
> * 磁通量变化：感生电动势
>   * 大小：$E=n\frac{△y}{△t}$
>     * $E=n\frac{△B}{△t}S$
>     * $E=n\frac{△S}{△t}B$
>   * 方向：楞次定律
> * 切割磁感线：动生电动势
>   * 大小：E=BLV sinθ
>   * 方向：右手定则

> 电磁感应：产生电动势E的过程。方法：
>
> * $\frac{△y}{△t}$
> * BLV
>
> E→I=E/R
>
> 1. 闭合电路欧姆定律
> 2. Q=It
> 3. $F_电=BIL$

> 变化的电场→磁场
>
> 变化的磁场→电场

> 求电量的所有公式：
>
> * 定义：Q=It
> * 电容器：Q=CU
> * 电磁感应：$Q=n\frac{△y}{R_总}$
> * 安培力冲量：$Q=\frac{△P}{BL}$



## 楞次定律

**楞次定律是能量守恒定律的具体表现**



当线圈内磁通量增加时，感应电流的磁场与原磁场方向相反，阻碍磁通量的增加；

当线圈内磁通量减少时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，阻碍磁通量的减少



内容：感应电流的磁场总要**阻碍**引起的感应电流的磁通量的变化

进一步理解：

* 引起感应电流的磁通量是指原磁通量
* “阻碍”不一定是相反，“阻碍”的是磁通量的变化。“阻碍”也不是阻止，而是延缓了磁通量的变化过程



解法：

1. 判断原磁场变化，阻碍磁场变化得出**感应磁场**方向

2. 安培/右手螺旋定则得出感应电流方向

3. 感应电流在**原磁场**中受到安培力作用



口诀：

* 增反减同：线圈内穿过磁通量增加，圈内磁场方向与磁铁磁场方向相反（增反）；磁通量减小，磁场方向与磁铁方向相同（减同）
* 来拒去留：磁铁接近线圈，由楞次定律，线圈阻止磁通量增大，远离磁铁（来拒）；远离线圈，阻止磁通量减小，靠近磁铁（去留）
* 增缩减扩（适用单向磁场。不适用双环模型）：线圈内磁通量增加，线圈缩小面积来阻碍磁通量的增加（增缩）；线圈内磁通量减小，线圈扩大面积来阻碍磁通量的减小（减扩）

> 特殊情况同心双圆：内圈电流增大，两圆电流方向相反，相互排斥，外圆有扩张趋势

> **来拒去留，增缩减扩只适用单一方向磁场**
>
> 磁体向线圈靠近时：线圈有收缩和远离的趋势，**F安斜向内向下**，不是水平。向下压力>重力



### 右手定则

磁感线穿掌心；拇指指向速度方向；四指为感应电流方向/电动势正极



应用该定则的物体相当于等效电源，电源内部电流由低电势流向高电势，所以四指方向电势高



## 法拉第电磁感应定律

感应电动势：电磁感应中产生的电动势叫感应电动势。产生感应电动势的那部分导体就相当于电源



电磁感应定律：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化成正比

公式：$E=n\frac{△Φ}{△t}$, n为线圈匝数

动生电动势，S变化

* 平动：E=BLv，两两垂直，L：首尾相连，有效长度为速度方向的投影
* 转动：E=$\frac 1 2 BL^2ω$ （适用导体棒一端不动） 

感生电动势，B变化：$E=nS\frac{△B}{△t}$（是其他条件都不改变，B改变，才是感生）

> 得出的E不是电压，是路端电压，外电路分的电压，U=R/(R+r)



理解

* 只要切割磁感线就有感应电动势，有电压；但是磁通量不变，就没电流和电压（例外：圆切割磁感线，圆心和圆上接导线，圆心电势高，电路有电流）
* 公式计算出的是△t时间内的平均感应电动势。若$\frac{△Φ}{△t}$恒定，则E不变，平均电动势即为瞬时电动势
* 二次感应电流：均匀变化的Φ，感应电流是定值，感应的磁场恒定，无电流



> $\overline E=n\frac{△Φ}{△t}$
>
> $\overline I =\frac{\overline E}{R+r}$
>
> $q=\overline I △t$
>
> **推导出电荷量可用公式**：$Q=n\frac{△Φ}{R+r}$   （适用切割磁感线**不匀速**情况）



> $E=B\frac{△S}{△t}$
>
> S=xl
>
> v=x/t
>
> →E=Blv



电源思想：导体切割磁感线，谁切割谁是电源。右手定则判断方向



## 电磁感应现象的两类情况

一段导线做切割磁感线的运动时相当于一个电源，这时的非静电力与洛伦兹力有关



## 互感和自感

### 互感现象

定义：两个相互靠近的线圈，当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势，这种现象叫互感。这种感应电动势叫互感电动势

利用互感现象可以把能量从一个线圈传递到另一个线圈

### 自感现象

定义：由于导体本身的电流发生变化而使自身产生感应电动势的现象



自感电动势：由于自感而产生的感应电动势叫自感电动势

* 作用：阻碍导体中原来电流的变化
* 大小：自感电动势跟电流的变化率成正比，$E=L\frac{△I}{△t}$

> **电源内部电流方向：低电势→高电势**
>
> 自感例子：电路上有电源，开关，滑动变阻器，还有2个并联电路，一个电路是线圈和灯泡，另一个电路是电阻R和灯泡，电源闭合稳定后，线圈和R电阻相等。
>
> * 闭合瞬间：（自感，电流和原电流方向相反，线圈相当于电源）和R串联的灯泡马上亮，和线圈串联的逐渐亮
> * 断开瞬间：（自感，电流和原电流方向相同，线圈相当于电源）2串联电路构成闭合回路，（和线圈串联的会亮一下，然后）2灯泡都渐灭
>
> 电路上有电源，开关，滑动变阻器，2个并联电路，一个电路是灯泡，另一个是阻值不为0的线圈，开关断开瞬间，灯泡渐灭



自感系数：描述线圈在电流变化快慢相同的情况下，产生的感应电动势不同的特性，用L表示

* 自感系数的大小：由线圈本身的特性决定。线圈的长度越大，线圈的横截面积越大，单位长度的匝数越多，线圈的自感系数L就越大；线圈有铁芯时比无铁芯时自感系数L大得多
* 单位：亨利，简称亨，符号H



## 涡流、电磁阻尼和电磁驱动

### 涡流

定义：导体可以看成是由许多闭合导体框组成的，当存在变化的磁场时，会在**导体中**感应出旋涡状的感应电流，叫涡电流，简称涡流

利用：

* 利用涡流的热效应加热——真空冶炼炉，电磁炉
* 涡流探测——探雷器，安检门

涡流的防止：

* 增大铁芯材料的电阻率，如使用硅钢材料
* 用互相绝缘的薄硅钢片叠成的铁芯代替整块硅钢铁芯



### 电磁阻尼和电磁驱动

电磁阻尼：当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力的方向总是阻碍导体的运动。这种现象叫电磁阻尼

电磁驱动：如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流，感应电流使导体受到安培力的作用，安培力使导体运动起来，这种作用称为电磁驱动



## 题型

### 导体切割磁感线

矩形闭合回路，上下是光滑导轨，右边ab是放在导轨上的直导线，矩形中时向里的磁场，ab向右切割磁感线，速度v0

**谁切割磁感线谁就是电源**：E=BLV，不是切割磁感线：$E=n\frac{△φ}{△t}$

电源：$E=BLv_0，r_内=r$

电路：

* $I=\frac{E}{R+r}$
* $U_ab=RI=\frac{R}{R+r}BLV_0$

$F_安=BIL=\frac{BLE}{R+r}=\frac{B^2L^2v_0}{R+r}$

$F_合=F_安$（没任何外力作用时，合外力=安培力），所以导体棒做a↓的减速运动

动能定理（能量转化的过程）：$W_{F_安}=△E_k=Q$



如果是矩形闭合电路，电路左右都有电阻，处于匀强电场中，中间导线切割磁感线，这种情况，2电阻是并联。最好画等效电路助于理解



#### 双金属棒切割磁感线

两金属棒ab，cd电阻为R，同向不同速，$v_1>v_2$：

* $E_总=BL(v_1-v_2)$，等效成2电源并联（正极和正极连接），
* 电流方向以电势大的电源为准，大小：$I=\frac{E_总}{2R}=\frac{BL(v_1-v_2)}{2R}$
* 安培力大小相等，方向相反，F=BIL
* 运动，ab：加速，cd减速

两金属棒ab，cd电阻为R，相背而行切割磁感线：

* $E_总=BL(v_1+v_2)$，等效成2电源串联
* 电流：$I=\frac{E}{2R}=\frac{BL(v_1+v_2)}{2R}$
* 安培力大小相等，方向相反，F=BIL



#### 金属正方形框向右通过有界磁场

右边的边a的E是：

* 进入过程中，E是外电路电压，是3/4E
* 进入时，是E（U=E-Ir,没电流，I=0，U=E）
* 出去过程中，E是一条边的电压，是1/4E



### 磁感应综合

安培力做功，纯电阻电路，只能发热。安培力做正功，电能减少；负功（和运动方向相反），电能增加



求闭合电路电功率，等于克服安培力功率，$P=I^2R$；焦耳热：$Q=I^2Rt，P_总=EI$



> $I=\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$
>
> $F_安=BIL=\frac{B^2L^2v}{R+r}$
>
> 如果B不变I不变，安培力变化只与v有关



闭合回路，导体棒切割磁感线，初速度为v/始终恒力F，导体棒都做a↓的加速运动，最后匀速是最大速度



正方形线框落下穿过磁场时，要分布分类讨论：

* 进入磁场中①：安培力和重力大小未知，要分类讨论，如果相等，a=0
* 磁场内：自由落体
* 出磁场中
  * 如果①F安>mg，要分类讨论，到刚出磁场时到底安培力大还是重力大
  * ①mg≥F安，经过磁场内加速，这时肯定还是重力大

金属棒切割磁场，回路有电容器，分类：

* 充电：这时电流只能I=q/t, C=△Q/△U，△U=△E=BL△v
* 已满电



回路有电源，通电导致金属棒运动，用左手定则判断运动方向。金属棒运动又产生E和电源E抵消，金属棒做a↓的加速运动，E相等后E=BLV时匀速（电源是满电电容器时，电容器E↓，金属棒运动的感应E↑，金属棒先a↓的加速运动，E相等后匀速）



### 原电流↔感应电流，线框受力

> 方法：
>
> * 电流增反减同
> * 安培力：同吸反斥/增斥减吸

题型：

* 通电螺线管导线，判断源电流变化：B环靠近A环，减同原则可得，A环电流减小，AB环电流同向

  

> 线框和导线距离不变运动时，线框无感应电流
>
> 线框沿一条边转动时，磁通量有变化
>
> 线框匀速通过直导线时，线框电流变化：+-+/顺逆顺（正在通过时电流方向和未通过时相反）



### 感生电动势图像问题

$E=n\frac{△φ}{△t}=n\frac{△BS}{△t}=nSk$



B-t图中：

* 感生电动势E：取决于斜率k大小和正负。k变号：电流变向，k=0：无感应电流
* 判断线框F-t图正误：B↑，F>0；k不变时，I不变，由F=BIL：B均匀变化，I不变→F均匀变化，而不是不变

I-t图中：k不变号，I不变向

> 电流和电压同频性



题型：B-t↔I-t，F-t



# 交变电流

> 元件：
>
> * 电阻R
>
> * 电感L：储存磁能
>
> $Z_L=ωL$ 感抗：电感的电阻
> 
>电容C：储存电能。特性：
> 
>* 隔直（流）通交（流）
> * 通高频阻低频：频率高容易通
>
> $Z_C=\frac{1}{ωC}$ 容抗：电容的电阻

## 交变电流

交变电流：大小和方向都随时间做周期性变化的电流。简称交流

直流：方向不随时间变化的电流



电流：

* 恒定电流
* 时变电流
  * 脉动直流
  * 交变电流——正余弦交变/简谐电流（大小变化：沿切割方向速度改变；方向变化：切割方向改变）



我国交流电频率：50Hz，电压220V

### 交变电流的变化规律

#### 正弦式交变电流

定义：按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，简称正弦式电流

产生：将线圈置于匀强磁场中，使其绕垂直于磁感线的轴做匀速运动，线圈中就会产生正弦式电流

> v=ωr，$r=\frac L 2；θ=ωt$
>
> * 某时刻电动势（2边电动势之和）：$E=2Blvsinθ=BL^2ωsinθ=(n)BSωsinθ$（n匝线圈带个n）
> * 电动势与时间的关系：e=nBSωsinωt
> * 电流：$i=\frac{e}{R+r}=\frac{nBSω}{R+r}·sinωt$，前一项是定值，电流随时间变化，所以$I_m=\frac{E_m}{R+r}→i=I_m·sinωt$
>
> 
>
> 电动势变化：电流、电压同步变化
>



|              | 中性面 | 中性面垂面 |
| ------------ | ------ | ---------- |
| 线圈位置     | 线框⊥B | 线框//B    |
| 磁通量       | 最大   | 0          |
| 磁通量变化率 | 0      | 最大       |
| 电动势       | 0      | 最大       |
| 电流         | 0      | 最大       |
| 过？电流方向 | 改变   | 不变       |

> 线圈每转一圈，电流方向改变两次



中性面开始计时=正弦式电流：

* 电动势的瞬时值表达式：$e=E_msinωt$（n为线圈匝数，B为磁感应强度，S为线圈面积，ω为线圈转动角速度）。该式适用于各种形状的线圈，且与转轴位置无关
* 电压的瞬时值表达式：$u=U_msinωt$
* 电流的瞬时值表达式：$i=I_msinωt$

垂直中性面开始计时=余弦交流电：e=NBSωcosωt



交流的峰值：电流或电压的最大值

* $E_m=nBsω$，cos/sin=1时E最大 
* $I_m=\frac{e}{R+r}=\frac{nBSω}{R+r}$
* $U_m=I_mR$





**E-t图是sin，φ-t图就是cos，峰值不同**



代表电器：二极管，电容器（击穿电压）



## 描述交变电流的物理量

### 周期和频率

周期T：交变电流完成一次周期性变化（线圈转动一周）所用的时间，单位是s

频率f：交变电流在1s内完成周期性变化的次数。单位是赫兹，简称赫，符号Hz

周期和频率的关系：$T=\frac 1 f$

$ω=\frac{2π}{T}=2πf=2πn$，f：转速，n：转数



### 交变电流的“四值”

| 物理量和含义                                                 | 重要关系式                                                   | 使用情况及说明                                               |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| 瞬时值：交变电流某时刻的值                                   | $e=E_msin ωt$<br />$i=I_msin ωt$                             | 计算线圈某时刻的感应电流、电压或受力情况等                   |
| 峰值：最大的瞬时值                                           | $E_m=mBSω$<br />$-E_m<e(t)≤E_m$<br />$I_m=\frac{E_m}{R+r}$   | 讨论电容器的击穿电压等                                       |
| 有效值：一个周期内用电器的发热量跟恒定电流在相同时间内发热量相同 | 对正弦式交变电流有：<br />$E=\frac{E_m}{\sqrt 2}$<br />$I=\frac{I_m}{\sqrt 2}$ | 1. 计算与电流的热效应有关的量：功、功率、热量等（焦耳热，热功率等）<br />2. 电器铭牌上，电压表，电流表等所标的一般是有效值<br />3. 保险丝的熔断电流为有效值 |
| 平均值：交变电流图像中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值     | $\overline E=n\frac{△\Phi}{△t}$<br />$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$<br />$q=\overline I t=n\frac{△\Phi}{R+r}$ | 计算通过电路横截面积的电荷量，**求电量，电动势，只能用平均值** |

> i-t,u-t图，**只有正/余弦图像，1/4T整数倍可以直接**÷$\sqrt2$得到有效值
>
> 
>
> I随周期变化，但电流/小周期不等时，分段计算：
>
> $I_有^2RT=I_1^2R\frac{T_1}{T} +I_2^2R\frac{T_2}{T}$ 
>
> 或者：
>
> $I_有^2RT=I_1^2RT_1+I_2^2RT_2$
>
> **有效电压也可用类似算法**

> 算热功率，正弦式电流最大值×一半周期=热功率有效值：$Q=I_有^2RT=I_0R\frac 1 2 T$，根据这个原理算电流有效值

> 原线圈U-t图→副线圈U-t图
>
> * 原图k=0：副图无电流、电压；正弦式不变



### 相位

正弦符号sin后面的量"ωt+φ"z叫交变电流的相位，φ是t=0时的相位，叫交变电流的初相位。两支交变电流的相位之差叫他们的相位差



## 对交变电流的影响

### 电感器对交变电流的阻碍

自感电动势：$E=L\frac{△I}{△t}$，电流变化越快/自感系数L越大，自感电动势越大。是线圈对交流电的阻碍



感抗：电感器对交变电流阻碍作用的大小

电感作用：（频率越高越难通，电感越大越难通）

* **通直流，阻交流**
* 通低频，阻高频



低频扼流圈：匝数多，自感系数大。通直流，阻交流

高频扼流圈：匝数少，自感系数小。通直流，通低频，阻高频



### 电容器对交流电的阻碍

容抗：电容器对交变电流的阻碍作用的大小

影响因素：容抗与电容器的电容C，交变电流的频率f有关。C或f越大，容抗越小，越好通

作用：

* **通交流，隔直流**（直流不能通过）
* 通高频，阻低频



## 变压器

### 结构

原线圈（初级线圈）：匝数用$n_1$表示，与交流电源相连，将电能转化成磁场能，产生交变的磁场

铁芯：绝缘硅钢片叠合而成，形成闭合的回路，减少磁场能的损失

副线圈（次级线圈）：匝数用$n_2$表示，与负载用电器相连，将磁场能转化成电能输出



常用变压器：

* 自耦变压器
* 变压互感器，电流互感器
* 钳形电流表



### 变压器的工作原理

原线圈内通恒定电流，副线圈内无感应电流

原线圈内通交变电流，副线圈内有感应电流

原线圈内变化的电流在铁芯内产生变化的磁场，副线圈同样处在铁芯的磁场内，将产生感应电流（互感现象）



### 理想变压器的规律

理想变压器：忽略漏磁（忽略磁通量的减少损失），铜线损失，铁芯损失。忽略损失：输入功率和输出功率相等



制约关系：

* 原制约副：电压
* 副制约原：电流，功率



**原副线圈关系：**

* $\frac{△Φ}{△t}$磁通量变化率相同
* 频率和周期相同
* **功率相同**：$P_入=P_出$



#### 电压与匝数的关系

电压之比=匝数之比

$E_1=n_1\frac{△Φ}{△t}$  $E_2=n_2\frac{△Φ}{△t}$  →

$E_1=U_1,\ E_2=U_2,\ \frac{E_1}{E_2}=\frac{n_1}{n_2}$ →

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$



副线圈匝数

* 变多：升压变压器

* 变少：降压变压器



副线圈多组

* 每组副线圈两端电压与原线圈两端电压都满足$\frac{U_1}{n_1}=\frac{U_2}{n_2}$
* 原线圈功率=**副线圈功率总和**





**自耦变压器**电压之比=总匝数：副线圈匝数（不是主+副=总）

躺着的日字形变压器（分摊磁通量）



#### 电流关系：反比

**只适用1个副线圈**：原、副线圈的电流跟它们的匝数成反比，$\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}$

多个副线圈：$n_1I_1=n_2I_2+n_3I_3$



### 原线圈含电阻

求原线圈电压电流，但少1个物理量算不出



解法：

* 设一边电流为I，然后电压比=匝数比，用带I的比例关系算出U，再得出I

* 功率关系：把原线圈等效成电阻

  > $P_等=P_原=P_副$, 用$P=\frac{U^2}{R}$展开
  >
  > $R_原=R_等=(\frac{U_1}{U_2})^2R_副=(\frac{n_1}{n_2})^2R_副$



## 电能的输送

### 降低输电损耗的两个途径

输电线上功率损失原因：任何输电线都有电阻，存在功率损失，$△P=I^2R=(\frac P U)^2·ρ\frac L S$



减小功率损失的方法：

* 减小输电线的电阻
  * 减小长度。实际中不能减小长度
  * 减小输电线电阻率。一般选用电阻较小的铜或铝作导线材料
  * 增大导线横截面积。耗费更多材料，增加成本
* 减小输电电流
  * 降低输送功率。实际中不能减少功率损耗
  * 提高输电电压。输送功率一定，输电线电阻一定的条件下，输电电压升高到原来的n倍，输电线上的功率损失降低为原来的$\frac{1}{n^2}$



#### 远距离高压输电的基本关系

* 功率关系

  $P_1=P_2, P_3=P_4, P_2=P_3+P_损$

* 电流，电压关系

  $\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{I_2}{I_1}$

  $U_3:U_4=n_3:n_4=I_4:I_3$

  $U_2=U_3+U_损$

  $I_2=I_3$

* $P_损=I_2R=(\frac{P_2}{U_2})^2R$

  

升压变压器输入端

升压变压器输出端=输电电压

输电线路输出端=降压变压器输入端

降压变压器的输出端=用户输入端





# 电学实验

系统误差：实验原理不完善，方法粗略，仪器不精确。

* 特点：多次重复同一实验，误差总是偏大/偏小
* 减小误差：完善实验原理，改进试验方法，校准实验仪器

偶然误差：各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响产生的。

* 特点：可能偏大/偏小
* 减小误差：多次测量取平均值



表头内阻：$R_g$

指针偏转到最大刻度的电流叫满偏电流，$I_g$，表头通过满偏电流时，加在它两端的电压叫满偏电压$U_g$。$U_g=I_gR_g$



**I-U图是伏安特性曲线**，某点R=割线斜率倒数

## 选电表

**选电表：**1/3偏到满偏。

估算规则：

* 最大电流<1/3满偏电流：排除
* 最小电流>满偏电流：排除

估算：

* 额定U-I
* 看电动势E确定V量程，然后估算A量程
* V A互相估算，比如：给定电阻10Ω，电压表得到的最大电流能够到电流表量程的1/3，确定VA组合

注意：电压表量程可以比电动势小



## 滑动变阻器选接法

### 限流式

优点：节能，接线简单，有效控制

缺点：电压表不能从0开始，变化小

选择：阻值大的滑变

### 分压式

优点：电压表可从0开始，变化大

缺点：电路复杂，耗能

选择：阻值小的滑变



特点

* Rx从0开始，校准，伏安特性曲线
* 阻值越小，线性越好，前提：不超额定值
* 要求：“被测部分的电压变化范围尽可能大”、“多测量几组数据”、“电压表示数从0开始变化”、“滑动变阻器易于调节”
* R<Rx

> **限流式U示数**：**有下限**→基本到E。

根据Rx选择内外接：大内偏大(大电阻内接，测量值偏大)；小外偏小(小电阻外接，测量值偏小)

* $Rx>>R_A$：内接法
* $Rx<<R_V$：外接法

> 误差原因：
>
> * 内接法：把A测进去了。误差原因：A分压使V偏大→Rx偏大
> * 外接法：误差原因：V分流，A示数偏大→Rx偏小
>
> 判断大小方法：
>
> * 已知Rx大概值，一般介于RA,RV之间，看倍数
> * 试触法：V内接法移到外接法，试触（接上迅速断开防V烧坏）示数，如果A变化明显（偏转角度）：V分的明显，A内接；A分的明显：A外接



选滑动变阻器：

* 限流式（串联）：
  * R>5Rx才能实现有效控制
  * 看情况，比如E=3V，需测出Rx=1V，只需滑变R≥2Rx即可
* 分压式：R<Rx，伏安特性曲线线性好



**分压式**

怪异的滑动变阻器并联：先串联电压，开关，滑动变阻器，然后并联滑动变阻器和支路(Rx和A，V和Rx并联)

原理：

* 滑动变阻器触头/滑片左右分别为R1、R2，R1与Rx并联，与R2串联
* 触头到最左边：R1=0，Rx被短路，V=0
* 触头到最右边：Rx直接接到E两端
* 触头从左到右：U示数：0→基本到E。所以最开始触头在最左边保护VA/电路



## 电表改装

灵敏电流计知道$I_g，R_g$→大量程：

* 电流表：并联R0
* 电压表：串联R0



## 测电阻

方法：

* 最简单的方法：替代法。电阻箱替代，同电流时，电阻箱示数就是Rx电阻
* 安安法：电流表和R0串联测Rx电压
* 伏伏法
* 电桥法：电阻箱并联Rx，R1并联R2；分别并联，在两电阻之间连电流表，调节电阻箱使电流表示数为0，则两边电势相等，按照R比值求解（理论上没误差）



### 半偏法：只用于电流表A，电压表V内阻

口诀：先满偏，后半偏，两偏小，一增大

> 先调节滑动变阻器使电流表满偏
>
> 再调节电阻箱使电流表半偏，这时滑动变阻器阻值=并联的待测电阻阻值
>
> 误差：测量值偏小，改装成电压表后测量值也偏小
>
> 减小误差：在保证电流表安全的情况下**增大**电动势
>
> 消除误差：干路加灵敏电流计G



分压半偏：先调滑变使V满偏，然后调电阻箱使V半偏，这时电阻箱阻值=V阻值

* 误差：测量值偏大
* 减小误差：选择小量程滑变
* 消除误差：电阻箱并电压表



方法：

1. 列方程
2. 测量值放两边
3. 画图求k和b



#### 电流表

原理：前后总电流不变

误差：并联R0，总电阻↓，总电流↑，$R0<RA$，E测<E真，R测<R真，**测量值偏小**



#### 电压表

原理：电压表V（大电阻）串联电电阻箱 R0（分压），且R0并联S2（或者没有S2），串滑动变阻器R1，步骤：

1. 闭合S1，S2（或者调R0到0），调R1使V满偏
2. 断开S2，调R0使V半偏
3. 认为总压不变，R0=RV测

误差：串联，U总↑，R0>RV，即R测>RV



半偏法延伸：比较法：

* 串联电阻，测两者电压：电压比=电阻比

  $\frac{R_x}{R_0}=\frac{U_1}{U_2}, R_x=\frac{U_1}{U_2}R_0$

* 并联电阻，测两者电流：电阻和电流成反比

  $\frac{R_x}{R_0}=\frac{I_2}{I_1}, R_x=\frac{U_1}{U_2}R_0$



## 伏安法测电阻

原理：R=U/I



步骤：

1. 选内外接：(内接：电流表在电压表内)

2. 分压/限流（滑动变阻器串联）→调节电流



伏安法变化形式：

* 4个表一个都用不了：AV内阻约等于/知道大概内阻→改装/改量程

  改电流：R0并联A，R0=电流表电压÷R0电流

  改电压：R0串联V，R0=(总电压-电压表电压)÷电压表电流

* 电表内阻已知，AV互用：电流表当电压表用（测一个电流表用另一个已知内阻的电流并联，原电流表内阻=已知电流表电压÷原电流表电流

* 定值电阻：

  * 保护
  * 改表
  * 当表：R和A并联，再串联一个电流表/R和U串联，外层电路再并联一个电压表



### 内接法

电流表准确

电阻值：偏大（电流表分压了）【U测偏大，R偏大】

内接法：适合大电阻（让电流表分压少）

### 外接法

电压表准确

电阻值：偏小（电压表分流了）【I测偏大，R偏小】

外接法：适合小电阻



选择内接/外接：$R^2$<$R_AR_V$，适合外接法

## 测小灯泡伏安曲线

小电阻，R随U增大而增大

纵坐标I，横坐标U：图像上凸。坐标交换：图像下凸

问斜率：原点和当前点连线斜率，**不是切线斜率**

接法：A必须外接，分压式

问工作电压：U=E-Ir。E和E/r的连线和曲线交点得到U,I→P=UI



## 读数

不估读的：游标卡尺，秒表，电阻箱，欧姆表



### 游标卡尺

看副尺精度，10刻度精度0.1，20刻度精度0.05，50刻度0.02

单位：mm。

精度：20刻度，50刻度：2位小数

主尺刻度是cm，按mm读；副尺mm，算出结果后再换算单位

读数=主尺读数+副尺精度×对齐的刻度值



### 螺旋测微器

主尺：mm



主尺刻度+副尺刻度：

* 主尺：最小分度一边mm一边0.5mm
* 副尺拧一圈是0.5mm，有50个刻度，一小格0.01mm，需要估读一位，所以精度3位小数



### 电表读数

内层刻度：交流看有效值，刻度不均匀

中层刻度：直流电表AV都在这读。读数：格数×精度，再看最小分度是不是1决定怎么估读，数格子别看标的数字

外层刻度：欧姆档，从右往左读



精度/最小分度：

* 为1：1,0.1,0.01，往下估读一位
* 不为1：0.1,0.3,0.5这种，不能往下估读，比如：10.0,10.2中间时：读10.1，**10.10错**

有效数字：从左往右第一位不是0的数到最后一位，数字的个数为有效数字的位数



### 秒表

短针分，长针秒

读法：短针没过半刻度线，大圈读小数；过半刻度线，大圈读大数



## 多用电表/万用表/欧姆表欧姆档测电阻

内部电路：电源，电流表和滑动变阻器串联

原理：闭合电路欧姆定律。

> $I=\frac{E}{Rx+r}$，一个电阻对应一个电流，电流越大电阻越小
>
> > $I_g=\frac{E}{r}$，电流满偏，相当于Rx=0
> >
> > $\frac{I_g}{2}=\frac{E}{R_x+r}$，半偏时，电阻值=电表内阻，Rx=r，**r是准确的**→中值附近最理想
> >
> > 半值电阻→不同倍率内阻不同→**欧姆调零**（Rx=0时，红黑表笔直接短接时，指针应指向满刻度，如果不指向满刻度，说明滑动变阻器阻值没调对，需要调）
> >
> > * 给定倍率，调零后，表盘中值×倍率=该倍率下欧姆表内阻
>
> > 外电路串联V时，$\frac E U=\frac{Rv+r}{Rv}$，Rv是欧姆表读数，r是中值电阻

> 例：欧姆表指向10，中值15，电流为I，求欧姆表电压电动势
>
> E=I(示数+15×100)

读数：中值电阻附近，刻度比较均匀，读数比较准确。电阻不需要估读

功能说明：由表头G、直流电流测量电路、直流电压测量电路、电阻测量电路以及转换开关等部分组成，测量时，红表笔插入''+‘插孔，黑表笔插入“—”插孔，并通过转换开关接入与待测量对应的测量端。使用时，电路只有一部分起作用。电流从红表笔流入，黑表笔流出



测电流、电压时，内部电路不接电源；测电阻（即选择欧姆档）时，内接电源，**红表笔接电源负极，黑表笔接电源正极。电流：红进黑出，红正黑负**

中值电阻=电表内阻



表头：

* 外圈：欧姆档：测电阻

* 中圈：直流电流/电压，读数要数格数

欧姆调零旋钮：调内部滑动变阻器

选择开关示数：

* 下划线“mA”：直流电流
* 下划线“V”：直流电压
* 下波浪线“V”：交流电压有效值。可测直流，但直流档不能测交流

 

操作：

1. 机械调零
   * 未接电时指针没偏向0，需要调：指针定位螺丝/机械调零旋钮
2. 选倍率（初选）
3. 欧姆调零：将红黑表笔直接短接，旋转欧姆调零旋钮，使指针指向欧姆档0刻度线/满偏（指针从左往右偏，满偏相当于偏到右边0）
4. 初测
5. 如果指针**偏转角（左侧角度）**过大，说明Rx是一个小电阻：应换更小倍率
6. **换了倍率必须重新欧姆调零**
7. 测完，将选择开关调到OFF/交流电压最大档

测电阻：电阻从电路中断开再测，否则会烧坏内部开关

误差：

* 如果手捏到金属，R测偏小
* 如果用时过长（内部是干电池），欧姆表E↓，r↑→E↓：指针更靠左，读数偏大；r↑：对测量结果无影响



测电阻：转换开关转到电阻档测电阻。2笔接电阻，表盘电阻指针×电阻档档位，就是电阻大小

测电阻步骤：

1. 2笔直接接一起（短接），表盘电阻读数为0，R=0，I最大，$I_m=\frac{E}{R_0+r}$（想让指针打到满偏电流这个点，需要**欧姆调零**：右边旋钮调节滑动变阻器。表明此时没接任何电阻）

2. 2笔之间接电阻$R_x$

   $I=\frac{E}{R_0+r+R_x}→R_x=\frac{E-I(R_0+r)}{I}$，

   所以$R_x=\frac E I-(R_0+r)$，不是线性关系，所以电阻刻度不是均匀的。这时把电流对应的值转化成$R_x$，从电阻刻度读出来即可

关键步骤：

1. （短接，）欧姆调零；换挡x10→x100；欧姆调零，保证指针在电阻刻度中间附近（机械调零只要1次；每换挡一次都要欧姆调零）
2. 读数×档位
3. 测量后，换挡按钮有OFF，指向它；没有指向交流电最大值处。然后拔出2笔。最后长期不用时，去除欧姆档电源

量AV：如果量程2.5V，格数50格，先算最小分度：2.5/50=0.05mA(决定如何读数)

## 二极管

形状：三角形

电流：从底边到尖：r很小，相当于导线；反向：r很大，断路



## 故障诊断

断路故障的判断:用伏特表与电源并联，若有电压时，再逐段与电路并联：

* 伏特表指针偏转，则该段电路中有断点
* 伏特表示数为零时，该电路被短路；当伏特表示数不为零，则该电路不被短路或不完全被短路。



## 导线电阻率ρ

$R=ρ\frac L s$

原理式：$ρ=\frac{SR}{L}$

已知长度，直径d，求ρ

已知ρ，求L，S



测量式：

* 测量L
* $S=πr^2=\frac 1 4πd^2$，
* $R=\frac U I$

→$ρ=\frac{\frac 1 4πd^2·\frac U I}{L}=\frac{πd^2U}{4IL}$

测量式测量：

* d：千分尺
* L：米尺
* U，I：电压表和电流表

关键步骤：测量d：螺旋测微器/千分尺，读对读数（测未知电阻很关键）

演变成→位值电阻$R_x$的测量：伏安法测电阻：$R=\frac U I$



## 电表的改装

电流表，电压表都是G（灵敏电流计）来的

G参数：满偏电流$I_g$（很小），满偏电压$V_g$（很小），内阻$R_g$



G→V：U最大，R=？（比如1V改成最大100V）原理：串联大电阻，$R_x=V_m-V_g$，I=

> $\frac{U_g}{R_g}=\frac{U_m-U_g}{R_x}$
>
> $R_x=\frac{U_m-U_g}{U_g}·R_g$
>
> →$R_x=(\frac{U_m}{U_g}-1)R_g$
>
> 将倍率$n=\frac{U_m}{U_g}$
>
> 最简算法：$R_x=(n-1)R_g$（问题：要知道$R_g$，所以衍生出实验半偏法测灵敏电流器内阻）



G→A：并联小电阻（本身1mA，需要3A，差2.999A）

$I_gR_g=(I_m-I_g)R_x$

> $R_x=\frac{R_g}{\frac{I_m-I_g}{I_g}}$
>
> $R_x=\frac{R_g}{\frac{I_m}{I_g}-1}$
>
> 将倍率$n=\frac{I_m}{I_g}$
>
> $R_x=\frac{R_g}{n-1}$

## 测量电源电动势和内阻

电流表：测总电流

电压表：测外电压

原理：闭合电路图形看对应焦点和斜率



**注意**：干电池1.5V，一般电流不超过0.5A→**选择量程较固定**：V：1.5V，A：0.6A，**即使串联几节，也必须选量程0.6A的**

**接法：必须内接法**，外接法除非A电阻已知，不然不能采用，误差大

* 内接法（电源外接法）误差：V准确，A偏小（V分流，大电阻，分流小），实际测的E是电源S和V并联值，结论：r测<r真，E测<E真（因为V电阻很大，所以U≈E，误差不大）

* 外接法（电源内接法）误差：U偏小，A准确但没用（A内阻分压，小电阻，r也是小电阻，分压明显）。I=0，A示数=0，V示数U测=E，结论：$r测=r+R_A>r_真$

（内接法：小便外流，一小全都小，适合测小电阻）



测电动势：

1. 先看电路：外接法

2. 测量得到一系列U，I

3. 数据处理（6组）

   1. 公式法

      > 联立：
      >
      > $E=I_1r+U_1$
      >
      > $E=I_2r+U_2$
      >
      > 所以：
      >
      > $r=\frac{U_1-U_2}{I_2-I_1}$，直接套公式求出E，别求解，再$E=U_1+I_1r$计算得到
      >
      > $E=\frac{U_1I_2-U_2I_1}{I_2-I_1}$
      >
      > 
      >
      > 每两组数据，共3组E，r，算平均数/找2个距离较大的点算

   2. 图像法：U=E-Ir，作U-I图得到2交点，截距值：U=E，I=$\frac E r$（I是短路电流），截距值都是延长得到的，实际不可能测到

题型变化形式：

* 电表改装（AV内阻已知）
* 逻辑：AV读数/其他能读数的+E，r+已知量，用全电路欧姆定律推出欧姆定律表达式，转化为一次函数，b，k与E，r有关（尤其反比例要转化）
* 加保护电阻，内接法A再串联电阻：不影响



实验原则：

* 让电压表，电流表偏角尽可能大，但不能烧表
* 滑动变阻器：滑动时尽可能使电表变化明显（接入电路，让电表从0开始



# 力学实验

## F=ma

重物m带动小车M打点

注意：

* 减小误差：m<<M，小车加速度越小越好（用弹簧测力计，不需要m<<M）
* 平衡f：倾斜木板，使小车下坡做匀直mgsinθ=μmgcosθ→tanθ=μ（带上纸带，但不能带重物）
* 绳与木板平行

$a=\frac{(前n个x和)-(后n个x和)}{(nt)^2}$

$v=\frac{x_1+x_2}{2t}$

t：看清题目，是否说中间有几个点未画出

F-a图通过k得到小车+砝码总质量



误差：

* 理想F=mg=Ma。实际：F=mg=(M+m)a(F-a图k↑)
* 未平衡f/平衡不够：F-a图有纵截距；平衡过度：F-a图有横截距
* a-F, $a-\frac 1 M$图，有纵截距：平衡f过度；有横截距：平衡f不够



控制变量法：

* F∝a：M不变
* a-M：F（m）不变



## 验证平行四边形法则

等效替代法

两只弹簧测力计调零后水平相互对钩，读数相等：可选

等效性：使两次橡皮条与两绳套的节点都与O点重合

重复试验时，不需要每次都使O点静止在同一位置



## 验证动能定理

测小车速度：选纸带上点均匀部分/匀速运动部分

打点计时器用交流电

若木板水平放置，小车在两条橡皮筋作用下，v最大时（a=0），橡皮筋仍处于伸长状态



## 验证机械能守恒

$mgh=\frac 1 2mv^2$

注意：

* 不需要测量m
* 不用v=gt, $v^2=2gh$：相当于直接推导，不是实验得出

需比较重物下落过程中两点的动能和势能变化量

误差来源：空气阻力（使用小体积质量较大物体），打点计时器纸带打孔

实际$gh>\frac 1 2v^2$，$\frac 1 2v^2-mgh=\frac 1 2mv^2+fh$



## 验证动量守恒

$mv_0x_0=mv_1x_1+m_2v_2x_2$

注意：

* 斜槽末端必须水平：平抛
* 选质量较大的小球入射
* 每次从斜槽相同高度由静止释放
* 可以仅测量平抛运动位移

结论：$v_0+v_1=0+v_2$，前两段位移加起来=后一段位移



# 分子运动理论

## 物体是由大量分子组成的

物体是由大量分子组成的

分子模型：

* 固体，液体被理想化认为各个分子挨个紧密排列
* 气体分子间距较大，通常把每个气体分子平均占有空间看成立方体



分子直径的数量级为$10^{-10}m$



### 分子模型的计算

> 球体模型：适用固体液体（单分子油膜法测分子大小不考虑油酸分子间隙）
>
> 立方体模型：适用气体

球体模型：设分子体积为V，直径为d，则$V=\frac 4 3π(\frac d 2)^3,\ d=\sqrt[3]{\frac{6V}{π}}$

立方体模型：气体分子看做每个小立方体平均占有的活动空间，忽略气体分子大小，$V=d^3,\ d=\sqrt[3]{V}$



固体液体可以用：$m_0=\frac{M}{N_A}, V_0=\frac{V}{N_A}$

气体所占空间：$V_0=\frac{V}{N_A}$ （气体密度：所占空间的密度；气体分子密度：自身密度）



### 测量分子的方法：油膜法

> 测得1滴油的体积：滴n滴是1mL，1/n=1滴油体积
>
> 看不到油：先撒粉后滴油
>
> 测面积：数格子（超过半格算1格，不足的不计数）



步骤：

1. 1mL油酸稀释成500mL油酸酒精溶液
2. 取油酸酒精溶液100滴测得体积为1ml
3. 撒痱子粉/细石膏粉在水面
4. 注射器往水面滴1滴优酸酒精溶液
5. 稳定后拿出玻璃板盖上描边
6. 计算



### 分子的热运动

定义：组成物体的分子永不停息地做无规则运动，这种运动跟温度有关，所以称为这种运动为热运动



扩散现象：不同物质互相接触时彼此进入到地方中去的现象

特点：

* 扩散快慢与物质的温度、状态有关
* 从浓度大向浓度小处扩散



布朗运动：悬浮在液/气体中的**微粒**永不停息的无规则运动

> 布朗运动：灰尘不是，花粉是

特点：

* 微粒越小，现象越明显
* 温度越高，运动越剧烈

成因：微粒周围的液体（或气体）分子对微粒的撞击作用不平衡引起的微粒无规则运动



正常固液分子都在平衡点附近热运动



> 布朗运动≠热运动（布朗运动是由于小颗粒受到周围分子做热运动的撞击力而引起的）。布朗运动是微粒的不规则运动，间接反映了水分子的无规则运动

> 扩散现象（肉眼可观察），布朗运动都是宏观现象

### 分子间的作用力

分子力随分子间距离变化而变化，而且有一定规律

|              |             | 力                                                    | 分子势能与分子间距离的关系                                   |
| ------------ | ----------- | ----------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| $r<r_0$      | $F_引<F_斥$ | 分子力表现为斥力                                      | 分子间表现为斥力，随着r的减小，需不断克服分子斥力做功，分子势能增大 |
| $r=r_0$      | $F_引=F_斥$ | 分子力F=0，分子处于平衡位置，其中$r_0大约为10^{-10}m$ | 分子力为0，分子势能为最小值                                  |
| $r>r_0$      | $F_引>F_斥$ | 分子力表现为引力                                      | 分子力表现为引力，随着r的增大，需不断克服分子引力做功，分子势能增大 |
| $r>10^{-9}m$ |             | >10倍分子直径，分子力变得十分微弱，可忽略不计         | 规定无限远（$r→∞$）处，分子势能为0                           |

> F-r图合力曲线：零点：引力=斥力

分子动理论：

* 物体是由大量分子组成的
* 分子在永不停歇地做无规则运动
* 分子间存在相互作用的引力和斥力（都随着分子间距增大而减小。但斥力变化量>引力）



分子动能：一切物体的分子因做无规则热运动而具有动能，但是单个分子的动能无研究意义



分子的平均动能：物体内所有分子动能的平均值

**平均动能只和温度有关**

* 不同物质，温度相同，平均动能一定相同
* 温度↑，平均动能↑

**分子平均动能和热力学温度成正比，不和摄氏温度成正比**





#### 分子势能

定义：由分子间的相互作用和相对位置决定的势能

决定因素：宏观上与物体体积有关，微观上由分子间距离决定



分子力做功与分子势能的关系：分子力做功是分子势能变化的度量。分子力做正功，分子势能减少；做负功，分子势能增加。分子势能的减少量等于分子力做功的多少



> $r=r_0$时，分子势能最小（负数）；无穷远处势能为0
>
> 从无穷远靠近：分子先引力后斥力，先正功后负功，分子势能先↓后↑



势能：体积（不适用气体；不适用水，因为有氢键，冰化成水，体积变小）



#### 物体的内能

定义：物体中所有分子的热运动动能和分子势能的总和

决定内能的因素：分子数、温度、体积

内能：

* 分子总动能
  * 温度（影响温度平均动能）
  * 分子数
* 分子总势能
  * 分子数
  * 体积（影响分子势能）



特点：不可测量；永不为零



> 同一物体温度升高内能增大，降低减小。
>
> 内能增大时温度升高，内能减小时温度降低：**错**，冰水转化
>
> 温度高的物体内能大：错，没说是同一个物体



# 气体

## 温度和温标

系统：物理学中，通常把研究的对象称为系统

状态参量：描述物质系统状态的宏观物理量

平衡态：一个物理学系统，在没有外界影响的情况下，经过足够长的时间，系统内各部分状态量会达到稳定。系统的这种状态称为平衡态



热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么这两个系统彼此也必定处于热平衡状态

> 两个物体/系统热平衡：温度相同



温标：

* 摄氏温度t
* 热力学温度T，单位K（开尔文/开，符号K）（T=t+273.15K​）

热力学绝对零度：是低温极限，只能接近不能达到（热力学温度没有负数）



温度：分子热运动的剧烈程度

$\frac{PV}{T}=c$（压强，体积，温度；c：常数，和m，气体有关）





## 气体的热力学性质

### 分子间作用力远大于直径，不考虑气体分子间作用力、势能

内能：物体所有分子的热运动动能与分子势能的组合



内能决定因素：

| 微观         | 宏观 |
| ------------ | ---- |
| 分子个数     | 质量 |
| 分子势能     | 体积 |
| 分子平均动能 | 温度 |



气体内能变化<=>气体的分子动能 $E_内=nC_vT(C_v：摩尔热容，n：物质的量，T：温度)$

气体内能只有温度为判定标准，密闭只跟温度有关

气体的功只看体积，和体积有关

### 压强：由气体热运动产生

P∝T(K)



压强影响因素

* n：分子个数
* v：分子热运动速度

压强公式：P=F/S，单位Pa

* 大气压：1atm=$10^5$Pa
* 汞柱高度：cmHg(1atm=76cmHg)
* 任意液柱：ρgh（G/S=ρVg/S=ρShg/S=ρgh)

> 汞柱：直接写h；任意液柱：ρgh



压强画法：气体垂直指向碰撞面



#### 液面封闭气体

研究对象：液柱

列式模板：$P_0+h=P_A$（只有汞柱可直接写h，h是液柱数值高度）



#### 连通器

原理：等高液面，压强相等

列式模板：$P_A=P_0+h$ （h：高度差。**低的-h=高的**）



#### 活塞（考虑质量）

受力分析→列式模板：$P_AS=P_0S+mg$





## 理想气体的状态方程

理想气体：任何温度、压强下都严格遵守气体实验定律的气体（有质量，无体积，分子之间没有作用力）

* 无体积：可以无线压缩
* 分子间没有作用力：内能只有动能，没势能。即质量不变时，内能只和温度有关





特点：

* 理想气体是理想化模型，是对实际气体的科学抽象
* 可以把**高温低压**的实际气体近似视为理想气体

理想气体状态方程：PV=nRT（R=8.31J/(mol・K)）

一定质量的理想气体，由初状态到末状态时，各量满足$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$或$\frac{pV}{T}=C$，其中C为常数，决定于气体的摩尔数

一定质量理想气体：

* **温度升高，内能一定增大**
* 等压膨胀一定吸热
* 等温膨胀，内能不变，熵增加，需从外界吸热
* 压强不变，体积减小，一定放热
* 自由膨胀不做功



> 功→热不可逆

> 打气筒压缩费力：不能说明分子间有斥力，是体积↓压强↑



### 解题

列初末状态的PVT表格，多个状态就列多个表格，消去不变的量，然后使用理想气体状态方程/三个定律



温度：直接给/默认相等

体积：看初末状态，往往和高度/长度挂钩

压强：列式计算



题型：

* 单试管
* 单试管多过程
* 分类讨论
* 液体溢出
* 多个研究对象
* 多个活塞移动距离
* U形管，多个气体联系问题
* 气缸



L形试管：

* 算压强，不管水平液柱
* 转90°之后，算气柱长度：设竖着的液体全部排到水平，比较两个压强，验证是不是这种情况，根据不同情况列不同式子

溢出问题：加热到多少度，试管内水银全部溢出

* 错误思路：末状态P不是大气压，h不是试管高度，正好液体没了
* 正确：是设x，末状态P=72+x，V=(94-X)S，和出状态列式求T。T是开口向下的一元二次函数最大值。错误思路算出的T小于最大值，不是正确值

两气体用活塞隔热板隔开，左边气体气体加热：

* 第1问：初状态左右压强相等，初末压强是不是不变需要分析，用右边气体验证（温度不变，体积变了，算压强），得到末状态压强
* 第2问：隔热板抽掉，2气体温度，压强相等，算体积比：再列一次末状态，求出体积比

上下2气体，2活塞，中间的活塞漏气（最终沉底），两气体漏到一起，求上活塞移动距离：列初末状态表无法解。T始终不变→相加法，两气体加起来是最终的压强和体积：P1V1+P2V2=PV，△V=最终体积减去原气体体积和，L=△V/S是最终移动距离



U形管，左边封口，左右两边气体等高，右边气体上面卡口有个活塞，同时加热两边气体

* 问右边活塞刚离开卡口上升：只分析右边的，P1=P0+mg/S
* 温度升高到多少，右边活塞开始离开卡口上升：列初末状态表
* 温度升高到多少，两管液面高度差为L：没说左右两管粗细不同，或者管子一头窄一头宽，则左边液面降低L/2，右边升高L/2，左边简单，分析，列初末状态表，然后理想气体状态方程



U形管，左右横截面积不同，液体变化高度不同，但是变化的体积相等

液体从不等高到等高，算活塞移动距离，除气体变化高度，还有液面从不等高到等高的差值



两气缸横截面积不同，中间横杆连接2活塞，直接算A气体变化温度算不出来。要算B，得先对横杆受力分析，算出B的初末体积，得出A的变化体积，再算出A气体温度

> 竖向的气缸受力分析包括自身重力

气体连通，就是看一个气体的初末状态，分析连杆受力来得到P。P不变，V看两气缸前后差值的和，最后可得出T



## 玻意耳定律

内容：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p跟体积V成反比

公式：$pV=C或p_1V_1=p_2V_2$

图像：等温线图

* p-V图为双曲线，同一气体的两条等温线，双曲线顶点离坐标原点远的温度高
* $p-\frac 1 V$图像为过坐标原点的直线，同一气体，斜率大的温度高

## 查理定律

内容：一定质量的某种气体，体积不变时，压强p跟热力学温度T成正比

公式：$\frac p T=C,\quad \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$

图像：

* p-t图线为过-273.15℃的直线，p-T图线为过坐标原点的直线
* 同一气体两条等容线，斜率大的体积小

## 盖—吕萨克定律

内容：一定质量的某种气体，压强不变，体积V跟热力学温度T成正比

公式：$\frac V T=C$

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

图像：

* V-t图线为过-273.15℃的直线，与纵轴焦点为0℃时气体的体积
* 同一气体两条等压线，斜率大的压强小



**三大定律T是热力学温度**

> 记人名：玻意耳T查理V吕萨克P

## 三大定律图像问题

分类：

* p-v图像（k/x曲线）
  * 画竖线：竖线上体积相等（恒容），然后根据PV/T=C，V不变，看P和T怎么变的
  * 根据PV=CT，C是定值，P×V的矩形面积反映了T的大小（p-v图是直线，说明温度一直在改变）
* 其他图像（直线），比较两个量大小：对公式PV=TC变形成y=kx形式，对应图像的横纵坐标，比如V-T图构造成$V=\frac C P T$，k=C/P，k越大，P就越小



## 液柱移动问题

### 动力学，可能涉及a

解法：初状态，末状态分别表示出来可出结果



玻璃管内，水银柱封一些空气，玻璃管开口向下自由下落时：里面空气柱长度减小



### 两气挤压

两个气体作用在同一个对象



原理：P1:T1=△P:△T（△适用过原点直线）

解法：

* 分别写两种气体的式子$△P_1=△T\frac{P_1}{T_1}$。
* 看题意，△T温度变化量一般相等，然后看P或者T哪个相等
* 再根据另一个不相等的量，得出△P的大小关系→体现△P大的气体热胀冷缩，决定两气体挤压的东西运动方向



### 两气挤压混合题

2个两气挤压，比较液柱上下移动更多



原理（恒压）：V:T=△V:△T

解法：比△V，

结论：谁的体积大，变化的体积就更大



### 加液/移动试管

假设气体V不变



试管内有气体A，高度L，倒扣进水银，试管内比水银液面高h，保持温度不变，试管稍微向上提起，h，L均变大

解法：两个相同的公式，中间三大定律

1. $P_A=H+P_0$，提起试管：h↑，A的P要↓

2. 玻意耳定律：A的P要↓→V要↑

3. $P_A=H+P_0$ 末状态：A的P已经↓好了，$P_0$始终不变，所以H要↑，A的V↑



### 充气放气问题

充气放气，气体质量改变了，不适用三大定律

思路：原气体+充的气体=末状态的气体

> 充气解法：
>
> $P_0V+P_0V'=PV$
>
> $V'=(\frac{P}{P_0}-1)V$
>
> 放气解法：
>
> $P_0V=nP_1V'+P'V$ ，求n（可以是小时/次数/天数）



## 气体热现象的微观意义

### 气体分子运动的统计规律

统计规律：由于物体是由数量极多的分子组成，这些分子并没有统一的运动步调。单独看来，每个分子的运动都是不规则的，带有偶然性，但从总体来看，大量分子的运动却又一定规律，这种规律叫统计规律



气体分子沿各个方向运动机会（几率）相等

大量气体分子的速率分布呈现中间多（占有分子数目多）、两头少（速度大或小的分子数目）的规律



### 气体温度的微观意义

温度越高，速度大的分子数目增多，分子的热运动越激烈

理想气体的热力学温度T与分子的平均动能$\bar E_k$成正比，即$T=a\bar E_k$(式子中a是比例常数)，因此可以说，温度是分子平均动能的标志



### 气体压强的微观意义

由于气体分子无规则的热运动，使得大量气体分子频繁碰撞容器壁产生持续、均匀的压力。作用在单位面积上的压力叫气体的压强

影响因素

* 气体分子的平均动能
* 分子的密集程度

### 对气体实验定律的微观解释

* 玻意耳定律的微观解释：一定质量的气体，温度不变时，分子的平均动能是一定的。在这种情况下，体积减小时，分子密集程度增大，气体的压强就增大
* 查理定律的微观解释：一定质量的气体，体积不变时，分子密集程度保持不变。在这种情况下，温度升高时，分子的平均动能增大，气体的压强就增大
* 盖——吕萨克定律的微观解释：一定质量的气体，温度升高时，分子的平均动能增大。只有气体的体积同时增大，使分子的密集程度减小，才能保持压强不变



# 固体、液体和物态变化

### 晶体和非晶体

熔点确定是晶体（晶体敲碎还是晶体）

各向异性：各个方向的物理性质不同

|        | 分为   | 外形   | 原子排列               |          |
| ------ | ------ | ------ | ---------------------- | -------- |
| 晶体   | 单晶体 | 规则   | 有规则                 | 各向异性 |
|        | 多晶体 | 不规则 | 有规则；晶体之间没规则 | 各向同性 |
| 非晶体 | -      | 不规则 | 无规则                 | 各向同性 |



常见晶体：石英，食盐，明矾，云母

常见非晶体：蜂蜡，橡胶，玻璃





具有各向异性的固体必是单晶体

具有确定熔点的晶体必是晶体。反之必是非晶体

> 各向同性固体，融化时温度可能不变：多晶体



晶体，非晶体可以相互转换

* 粘连的糖块：多晶体；组成糖块的颗粒：单晶体
* 天然水晶：晶体；熔化后再凝固的玻璃：非晶体
* 石英→玻璃：晶体→非晶体



> 晶体易错实验：熔化的蜂蜡涂在云母片上，一根针烧热接触使蜂蜡熔化，观察的形状是**椭圆，说明了云母是单晶体，有各向异性**



> 一定质量晶体融化过程中，温度不变，平均动能不变，吸热，内能↑，分子势能↑

### 液体的表面张力

定义：作用在液体表面上并使液体具有收缩趋势的力

方向：和液面相切/平行，和液体的分界线垂直



原因：表面层液体的蒸发，致使分子间距较大，体现为分子引力



效果：使表面积趋于最小。体积相同时，球体表面积最小



影响：温度越高/有杂质，张力越小



### 浸润和不浸润

浸润：一种液体会润湿并附着在固体的表面上（试管凹液面）

不浸润：一种液体不会润湿、附着在这种固体的表面上（水银凸液面）

> 液固不浸润，附着层分子间作用力是引力；浸润斥力



### 毛细现象

浸润液体在细管中上升的现象，以及不浸润液体在细管中下降的现象，称为毛细现象



> 管子越细毛细现象越明显



### 液晶

液晶：像液体一样具有流动性，而其光学性质与某些晶体相似，具有各向异性的物质



### 饱和汽与饱和汽压

汽化：物质从液态变成气态的过程。方式：蒸发和沸腾

蒸发：只有液体表面发生，且在任何温度下都能发生的汽化现象

沸腾：在液体表面和内部同时发生的剧烈的汽化现象，只能在一定温度下发生。这个温度是液体的沸点



饱和汽：**与液体处于动态平衡的蒸汽叫饱和汽**（在密闭容器中的液体不断地蒸发，液面上的蒸汽也不断地凝结，当这两个同时存在的过程达到动态平衡时，宏观的蒸发就停止了）

未饱和汽：没有达到饱和状态的蒸汽

饱和汽压：饱和汽的压强。**饱和汽压随温度升高而增大，与体积无关**



### 空气的湿度

空气的绝对湿度：每立方米空气中所含水蒸气的质量，即水蒸气密度



空气的相对湿度：绝对湿度÷同一温度下水的饱和汽压的百分比

公式：$B=\frac{p}{p_s}×100\%$（B：相对湿度，$p/p_s$：同一温度实际/饱和汽压）



> 干湿温度计：温度差值越大，相对湿度越小



### 物态变化中的能量交换

#### 融化热

定义：某种晶体融化过程中所需的能量与其质量之比

公式：$Q=λm（m：物质的质量，Q：熔化时所需要吸收的热量，λ：物质的融化热）$

单位：焦耳每千克，即J/kg



#### 汽化热

定义：某种液体汽化成同温度的气体时所需的能量与其质量之比

公式：Q=Lm。L：某温度时的汽化热，m：物质的质量，Q：热量

单位：焦耳每千克，J/kg



# 热力学定律

## 功和内能

绝热过程：系统只由于外界对它做功而与外界交换能量，它不从外界吸热，也不向外界放热的过程



功能和内能变化的关系：当系统从某一状态经过绝热过程达到另一状态时，内能的增加量△U等于外界对系统做的功W

公式：$△U=U_2-U_1=W$



## 热和内能

热传递：热量从高温物体传递到低温物体的过程

热传递的方式：热传导，热对流和热辐射

热传递的条件：有温度差

热与内能变化的关系：当系统从状态1经过单纯的传热到状态2时，内能的增加量$△U=U_2-U_1$，就等于外界向系统传递的热量Q，即$△U=Q$



| 改变内能的方式 | 做功                                                         | 热传递                                         |
| -------------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------- |
| 内能变化       | 外界对物体做功，物体的内能增加；物体对外界做功，物体的内能减少 | 物体吸收热量，内能增加；物体放出热量，内能减小 |
| 本质           | 其他形式的能与内能之间的转化                                 | 不同物体间或同一物体不同部分间内能的转移       |

二者联系：做一定量的功或传递一定量的热在改变内能的效果上是相同的

## 热力学第一定律

内容：一个热力学系统的内能增量等于外界向它传递的热量与外界对它所做的功的和

热力学第一定律：做功与热传递都可以改变内能

公式：$△U=Q+W$

符号规定

| 符号 | W              | Q            | △U       |
| ---- | -------------- | ------------ | -------- |
| +    | 外界对物体做功 | 物体吸收热量 | 内能增加 |
| -    | 物体对外界做功 | 物体放出热量 | 内能减小 |



特殊情况：

* 若是绝热过程，则Q=0，W=△U，即外界对物体做的功等于物体内能的增量
* 等容过程中气体不做功，即W=0，则Q=△U，物体吸收的热量等于物体内能的增量
* 若过程的始末状态物体的内能不变，即△U=0，则W+Q=0或W=-Q，外界对物体做的功等于物体放出的热量
* 气体膨胀：物体对外做功；压缩：外界对气体做功



### 研究对象内能，状态不同，分析方式不同

固体/液体：熔化时吸热，内能↑（固体液体基本不考虑做功）



理想气体：没有分子势能，只有分子动能

* **m不变，内能只和温度有关**
* 同时看W和Q



绝热：没热传递，Q=0

真空：不做功，W=0

膨胀：对外做功，W<0，内能减少



做功公式：W=P△V



## 热力学第二定律

### 克劳修斯表述

内容：能量不能自发地从低温物体传到高温物体。即从传热的方向性表述

理解：

* 热量会自发地从高温物体传到低温物体，在传热过程中不会对其他物体产生影响
* 如果有其他作用，热量有可能由低温物体传递到高温物体；没有不能



> 功可以完全转化为热；外界影响下，热可以完全转化为功



易错：

* 热量不能自发从内能低的物体传到内能高的物体：×，可能内能低，但温度高
* 根据热二，各种形式的能可以相互转换：×，有方向，不可逆



### 开尔文表达

内容：不可能从单一热库吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响。

理解：

* 从单一热库吸收热量，一般来说只有部分转化为机械能
* 机械能转化为内能是自然的，可以全部转化
* 如果引起其他变化，可能从单一热库吸收热量并把它全部用来做功



实质：热力学第二定律两种表述是等价的，可以从一种表述推出另一种表述，同时这两种表述揭示了自然界的基本规律：一切与热现象有关的宏观过程都具有方向性，即一切与热现象有关的宏观的自然过程都是不可逆的



|                  | 第一类永动机                                   | 第二类永动机                                               |
| ---------------- | ---------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------- |
| 特点             | 不需要任何动力或燃料，却能不断地对外做功的机器 | 从单一热源吸收热量，使之完全变成功，而不产生其他影响的机器 |
| 不可能制成的原因 | 违背能量守恒定律                               | 违背热力学第二定律                                         |



## 热力学第二定律的微观解释

微观意义：自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性。一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性增大的方向进行

熵：系统内分子运动无序性的量度



熵增加原理：在任何自然过程中，一个孤立系统的总熵不会减少，如果过程可逆，则熵不变；如果过程不可逆，则熵增加

从微观的角度看，热力学第二定律是一个统计规律：一个孤立系统总是从熵小的状态向熵打的状态发展，而熵值较大代表着较为无需，所以自发的宏观过程总是向无序程度更大的方向发展



## 热力学第三定律

0K达不到，只能接近



## 题

### 液柱

容器：试管，U形管，L形管

方式：加热，旋转，加水银



如何算压强？



解题：一表二图三列式

* 列PVT表





# 机械振动

机械振动：物体或质点在其平衡位置附近所作有规律的往复运动

简谐振动：不计阻力

阻尼振动：计阻力

## 简谐运动

简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫简谐振动

振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示

单位：m

物理意义：表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强，能量越大



周期和频率：

* 全振动：振动物体完成一个完整的振动过程称为一次全振动。一个完整的振动过程指终点和起点的位移和速度的大小和方向都相同
* 周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。$T=\frac 1 f$，$T=2π\sqrt{\frac m k}$。周期和振幅无关
* 频率：单位时间内完成全振动的次数，叫振动的频率。用f表示



判断：

* F=-kx
* x-t图像



证明是简谐运动

1. 找到平衡位置
2. 假设偏离平衡位置x的点
3. 判断是不是满足F=-kx



## 简谐运动图像

理解图像三要素：时刻、位置、振动方向

x-t图，符合sin，cos图像的都是简谐振动



直接信息：

* 振幅A
* T
* 任一时刻位置/位移

间接信息：

* 质点振动方向



意义：某一个振动质点在不同时刻离开平衡位置的情况



1个T内：

* x=0
* 路程S=4A

$\frac T 2$内：

* x：取决于初始位置
* S=2A

$\frac T 4$：要看起始位置



## 简谐运动的规律

简谐运动的特征

* 运动学特征：回复力F=-kx

  回复力大小跟位移大小成正比，“-”表示回复力与位移的方向相反。

  若质点做机械振动的回复力满足F=-kx，则质点的运动就是简谐运动。

* $a=-\frac{kx}m$

> 回复力：物体不在平衡位置时，所受弹簧弹力始终指向平衡位置，与位移方向相反



A点是压缩点，O点平衡，B点是拉伸点，往右为正方向

| 水平弹簧   | A→O  | O→B  | B→O  | O→A  |
| ---------- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 位移       | ↓    | ↑    | ↓    | ↑    |
| 加速度     | ↓    | ↑    | ↓    | ↑    |
| 速度       | ↑    | ↓    | ↑    | ↓    |
| 位移方向   | -    | +    | +    | -    |
| 加速度方向 | +    | -    | -    | +    |
| 速度方向   | +    | +    | -    | -    |

AB点：弹性势能最大，速度最小

O点：弹性势能最小，速度最大



远离平衡位置：位移↑，a↑，v↓，动能↓，弹性势能↑

靠近平衡位置：位移↓，a↓，v↑，动能↑，弹性势能↓，

平衡位置：位移=0，a=0，v最大，动能最大，弹性势能=0



**通用结论**：不管弹簧横竖

* 加速度方向总是和位移方向相反

* 加速度和位移同大同小



### 简谐运动的表达式

$x=Asin(ωt+φ)$

* x：振动质点相对于平衡位置的位移
* t：振动的时间
* A：振动值点偏离平衡位置的最大距离，即振幅
* ω：简谐运动的圆频率，$ω=\frac{2π}T$，它也表示简谐运动物体振动的快慢。$ω=\sqrt{\frac k m}$
* φ：**初相位，是t=0的时候**
* 相位：(ωt+φ)。算的相位差带t，说明随时间增加，相位差增加

周期/振动步调：完成一次全振动的时间，**和振幅无关**。$T=2π\sqrt{\frac m k}$





简谐运动的图像

* 从平衡位置开始计时，函数表达式为$x=Asinωt$
* 从最大位移处开始计时，函数表达式为$x=Acosωt$
* x-t图，图像上下翻转得到a-t图



特殊周期下的最值路程

* 1个周期：4A
* 半个周期：2A
* 1/4个周期：
  * 最大：$\sqrt 2$A
  * 最小：$(2-\sqrt 2)$A



简谐运动和圆结合：

* A=R
* φ是多少？t=0带入，看所在位置





算振幅：平衡位置和v=0的点的差值



## 单摆

定义：用一根不可伸长且没有质量的细线悬挂一支点所组成的装置。它是实际摆的理想化模型

摆长l：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离（摆线长+小球半径r)

摆角θ：摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角



单摆的回复力：是重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsinθ，或者说是摆球所受合力在切线方向的分力。摆球所受的合力在法线方向（摆线方向）的分力作为摆球做圆周运动的向心力



#### 单摆的振动是简谐运动

条件：偏角（摆动最大角度和竖直方向角度）θ不超过5°。视为sinx=x

特征：当摆线最大偏角θ<5°时，$F_回=-mgsinθ≈-mg\frac x l=-\frac{mg}lx$。由此可见，单摆在摆角很小的条件下的振动为简谐运动

单摆最大高度：h=l(1-cosθ)



完全失重：不摆



### 单摆的周期

公式：$T=2π\sqrt{\frac l g}$（分母g：失重：g-a，超重:g+a）

* T只和L，g有关：同一单摆不同高度落到最低点时间一样

$a=\frac 3 4g，T_1=2T=4s$

$a=3g，T_2=\frac T 2=1s$

荷兰物理学家惠更斯首先发现，单摆做简谐振动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比





应用

* 利用单摆的等时性制造摆钟

  **周期T=2s的单摆为秒摆**，由$T=2π\sqrt{\frac l g}$，得$l=\frac{gT^2}{4π^2}$，若g取$9.8m/s^2$，则秒摆的摆长l约为1m

* 用单摆测定重力加速度：$T=2π\sqrt{\frac l g}→g=\frac{4π^2l}{T^2}$

* 最低点到最高点是1/4T



等效摆：R>>r，摆线长远远大于r时。这时l=R

* 单摆中间有钉子，导致一半摆长由L减小为l，这时周期：2个摆长周期和的一半
* 各种绳子挂小球的情况



### 单摆测g

注意点：摆线用轻绳，细线上端可用夹子固定或者其他方式，保证摆长不变/防止绳子摩擦

测量

* 周期T：停表
  * 从最低点开始计时，准确率更高，最高点肉眼不好确定，容易误差
  * 可让单摆重复n个周期总时间再÷n
* L：刻度尺

测得T和L，得到g

* 直接用公式：$g=\frac{4π^2}{T^2}L$
* 多次测量，作$T^2-L$图，公式变形，$T^2=\frac{4π^2}{g}L$，算k（好处：L不影响g的值）

误差分析：

* 实验中误将振动次数多算1次，测得g：偏大
* 振动中绳子松动，使摆长增加了，测得g：偏小（之前测量值偏小，但实验中绳子松动，没有发现，乘的还是测量值，不是实验中的实际值）
* 测摆线长时摆线拉得过紧，测得g：偏大
* 时间t内的n次振动误记为n-1次，测得g：偏小



## 外力作用下的振动

阻尼振动：振动过程中，由于受到阻尼的作用，系统要克服阻尼做功，振动系统的能量逐渐减小，振幅逐渐减小，这样的振动叫阻尼振动（能量减小，振幅A减小，但是**T不变**）

阻尼振动分类：

* 自由振动：自身回复力作用下做振动。比如只给钟摆施加初始力使其振动。T是物体固有周期
* 受迫振动：系统在外界周期性变化的驱动力的作用下的振动叫受迫振动。系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关



共振：驱动力的频率跟系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大的现象叫共振：A最大，振动最剧烈

共振曲线：直观地反应系统做受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系，即当驱动力的频率f偏离固有频率$f_0$较大时，受迫振动的振幅A较小；当驱动力的频率f等于固有频率$f_0$时，受迫振动的振幅A最大。对应**A-f图**$f_0$为最高点



实验：一根细绳上有几个不同长度的细绳系着小球，外力让第一个摆长L做摆动，然后其他的会做受迫振动，摆长长度最接近L的产生共振振幅最大；长度和L差越大，振幅越小



## 受迫振动

物体固有频率$f_0$

周期性外力频率$f$

受迫振动：f=$f_{外力}$

共振现象：

* 当$f_外=f_0$，振动最剧烈，A最大
* 接收电磁波的电谐振 





# 机械波

## 机械波

定义：机械波是机械振动在介质中的传播

形成条件/产生：有振源和传播振动的介质。介质不会随波一起传播，但波可传递能量，信息

分类：按质点振动方向与波传播方向的关系分为横波和纵波

实质：运动形式和能量传递出去



横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波

* 波峰：横波中凸起的最高处
* 波谷：横波中凹下的最低处

纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波

* 密部：纵波中质点分布最密的位置
* 疏部：纵波中质点分布最疏的位置



**波的f，T完全取决于振源**



纵波：声音

横波：电磁波

横波+纵波：地震波

相同性质的波：纵波快。声音在固体传播最快，空气中最慢

波的现象（含电磁波）：干涉，衍射





## 描述机械波的物理量

**同一种波在不同介质中f不变，波速v，波长A会变**

### 波长

定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离叫波长。通常用λ表示（一个周期内传播的距离）

横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长

纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长

> 横波可以在固体液体中传播，气体中不能传播



周期和频率：在波动中，每个质点的振动周期或频率是相同的，他们都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫波的周期或频率



同一列波进入另一种介质时：波的频率不变，波速改变





### 波速

定义：波在介质中传播的速度/振动传播的速度

波长λ、波速v和频率f（周期T）的关系是：$v=\frac x t=\frac λ T$

**波在均匀介质中匀速传播，波速的大小由介质本身的性质决定**，与波的频率、质点振动的振幅无关。同一类型的波在同一种均匀介质中，波速是一个定值

波速与质点振动速度是两个不同的物理量：波速是振动形式的传播速度，在同种均匀介质中不变；振动速度是质点在平衡位置附近振动时的速度，是周期性变化的



机械波的实质：

* 传播的只是运动形式——振动，振动质点并不随波迁移
* 波是传递能量的一种方式，即依靠介质中各质点间的相互作用力而使各相邻质点依次做机械振动来传递波源的能量



## 波的图像

原点：波源

x：离开振源的距离

y：位移





### 判断某点振动方向

| 振动方向：向上/向下？ | 某点振动方向        |
| --------------------- | ------------------- |
| y-x：波形图           | 同侧法              |
| y-T：振动图像         | 看这点曲线往上/往下 |

**同侧法**：传播方向和振动方向箭头在图像这点曲线同侧



#### 给t看质点y轴运动方向

半周期的奇数倍：等大反向

半周期的偶数倍：等大同向



### 给y-x图，但是波形图过了3/4周期开始计时，判断y-t图是波形图哪点的振动图像

做法1：y-x图画出3/4周期时的图，看哪个点在新画图像上

1. 先看y-x图原点振动方向，得出3/4周期后原点振动到哪里（1/4T整数倍最好算）
2. 最高/低点直接往后画（不好画就看找下一个特殊点振动到哪里，用多个点画图）
3. 振动图像原点振动方向，在新画图上找符合振动方向的指定点

做法2：给振动图像往右过1/4个周期，凑够1个周期，这个点画新y轴，看图像t-0振动位置正好和波形图哪个点吻合



掌握：

* $v=λf=\frac λ T$

* 求波速：不加时间限制，v多解（知道某两个时刻波形图，求波速，以向右平移$\frac T 4$为例）；还要考虑波的传播方向
  
  $v=λf=\frac λ T$
  
  $v=\frac x t$
  
  * △x已知，△t=nT+xT
  * △t已知，x=nλ+xλ



### 多解问题

模型：波形图/振动图出现两条曲线

思路：

1. 列波速公式，找固定值带入
2. 平移图像，找到平移值
   * 波形图：按传播方向平移，直到实线虚线图像重合，得到平移值
   * 振动图：时间先后
3. 平移值加上周期数值，带入公式

> 比如：$v=\frac x t=\frac{3+4n}{0.5s}=6+8n(n=0,1,2...)$
>



## 波的衍射和干涉

### 波的衍射（绕射）

波的衍射：波可以绕过障碍物继续传播

发生明显衍射现象的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小时，才能观察到明显的衍射现象

一切波都能发生衍射现象，衍射现象是波特有的现象，波长较长的波容易发生明显的衍射现象



波的叠加：几列波相遇时能够保持各自的运动状态继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和



### 波的干涉

定义：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，这种现象叫波的干涉。

> 2波峰/谷相遇：此点振动都加强

振动加强和振动减弱的区域相互间隔（频率相同的两列波→干涉图样）



两列波频率相同，产生稳定干涉：振动加强点的振幅不会随时间变化，振动加强/减弱区域的空间位置是不变的

两列波频率不同，产生不稳定干涉，振动加强点的振幅会随时间变化



## 振动公式

两列波源完全同步时：

* 振动加强的位置公式：$|x_1-x_2|=\frac λ 2$的偶数倍（这个点到两个波源距离的差值=λ/2的整数倍）
* 振动减弱的位置公式：$|x_1-x_2|=\frac λ 2$的奇数倍



### 多普勒效应

定义：由于波源与观察者有相对运动，使观察者感到波的频率发生变化的现象

> $f_收=γf_发（接近：γ>1；远离：γ<1)$

靠近波源，频率增大

### 惠更斯定理

把任何振动状态都相同的点组成的面叫波阵面或波面；而与波面垂直的那些线代表了波的传播方向，叫波线。

惠更斯定理：介质中任一波面上的各点，都可以看作发射子波的波源，其后任意时刻，这些子波在波前进方向的包络面就是新的波面。



### 波的反射

定义：波在传播过程中遇到障碍物会返回来继续传播的现象

反射规律：

* 反射波的波长、频率、波速都跟入射波相同
* 入射波线、法线、反射波线在同一平面内，反射角等于入射角



### 波的折射

定义：波从一种介质进入另一种介质时，传播方向发生改变的现象

折射定律：波发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于波在第一种介质中的速度与波在第二种介质中的速度之比，即$\frac{sinθ_1}{sinθ_2}=\frac{v_1}{v_2}$



# 光

桥梁：色散	



几何光学

* 反射
  * 反射定律
  * 平面镜成相
* **折射**
  * 折射定律：折射率n
  * 全反射：临界角c
  * 色散：棱镜，玻璃镜



物理光学

* 波动性
  * 干涉：双缝干涉现象，规律，应用
  * 衍射：条件，结果
  * 偏振：主要说明光是横波
* 粒子性
  * 光电效应：现象，规律，应用
  * E=hγ



光的传播：在同种均匀介质，光沿直线传播

虚像：光线反向延长形成的焦点，不能被光屏承接

实相：光的真实汇聚点



凹面镜和凸透镜成像规律一样

* 1倍焦距内：正立放大虚像
* 1-2倍焦距：倒立放大实相
* 大于2倍焦距：倒立缩小实相

**光是横波**



平面镜成像：对称性，位置、运动关于镜面对称

小孔成像原理：均匀介质中，光沿直线传播



## 光的反射

定义：光从第一种介质射到它与第二种介质的分界面时，一部分光会返回到第一种介质的现象

反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角。

反射分类：

* 漫反射：投射在粗糙表面上的光向各个方向反射的现象
* 镜面反射：反射面光滑，当平行入射的光线射到这个反射面时，仍会平行地向一个方向反射出来

## 光的折射

定义：光从第一种介质斜射到它与第二种介质的分界面上时，一部分光会进入第二种介质，这种现象叫光的折射。入射光线与法线的夹角叫入射角，折射光线与法线的夹角叫折射角。

> 人看水中鱼/鱼看水外人：看到的比实际的位置都偏高



折射同时也会发生发射



折射定律：折射光线与入射光线、法线在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射、折射角正弦值成正比。

公式：$\frac{sinθ_1}{sinθ_2}=n$



折射率：光从真空射入某种介质中发生折射时，入射角$θ_1$与折射角$θ_2$的正弦之比。即$n=\frac{sinθ_1}{sinθ_2}$（光疏介质角度比光密介质角度）。角度极小时，近似等于角度比

> 折射率始终＞1



> 折射率与入射角无关，与介质种类有关



折射率最高的介质：金刚石

**折射率与光速的关系**：$n=\frac c v$。其中c表示真空中的光速，v表示介质中的光速，由于c>v，所以n>1

> 平行玻璃砖的结论：
>
> * 折射率越大，偏折角越大。偏折角=i-γ
>
>   i-γ↑，$n=\frac{sini}{sinγ}→sinγ↓=\frac{sini}{n↑}$
>
> * 平行玻璃砖，无论n，出射光//入射光（入射到玻璃砖和射出玻璃砖的光线平行）
>
> * i越大，侧移量d越大



托勒密：小角度时，折射定律近似i≈γ

> 视深问题：
>
> $sini≈tani=\frac a h$
>
> $sinγ≈tanγ=\frac a H$
>
> $n=\frac{sini}{sinγ}=\frac H h$
>
> $h=\frac H n$
>
> n>1, h<H
>
> 视高：
>
> $sini≈tani=\frac a G$
>
> $sinγ≈tanγ=\frac a g$
>
> $n=\frac{sini}{sinγ}=\frac h H$
>
> $h=nH$
>
> n>1, h>H
>
> > 像为什么在物的正上方？



## 光密介质和光疏介质

定义：两种介质相比较，折射率较大的介质叫光密介质，折射率较小的介质叫光疏介质

特点：

* 光由光疏介质射入光密介质时，折射角小于入射角；光由光密介质射入光疏介质时，折射角大于入射角
* 光在光疏介质中的传播速度大于在光密介质中的传播速度



## 光的色散

光通过三棱镜后会色散，同一个介质，光的频率越大，折射率越大

色散的本质是光的折射



## 全反射

定义：光从光密介质射入光疏介质时，折射角大于入射角，当入射角≥  临界角，折射角达到90°，折射光完全消失，只剩下反射光。这种现象叫全反射。

从光疏介质射向光密介质，折射角最值为C



临界角：折射角接近90°时的入射角叫全反射的临界角。折射率大，临界角小

公式：光由折射率为n的介质射入空气（真空）时，$sinC=\frac 1 n$



发生全反射的条件：

* 光由光密介质射入光疏介质
* 入射角≥临界角



现象/应用：

* 水中气泡看起来较亮
* 潜水员从水中向上看，视线范围时倒立圆锥，顶角是2i
* 全反射棱镜
* 光纤2层，内层是光密介质，外层光疏，发生全反射



## 光的干涉

光的干涉现象：频率相同的两列光波相叠加，某些区域的光被加强，某些区域的光被减弱，且光被加强减弱的区域相互间隔的现象（明暗相间的条纹）

光产生干涉现象的条件：两列光频率相同，相位差恒定，振动方向一致

> 两缝中间位置所对的条纹是亮条纹

c=λf，光速=波长×频率

杨式双缝干涉：$△s=s_2-s_1$

* $△s=\frac λ 2(2n)$，光程差是半波长的偶数倍：亮条纹：加强
* $△s=\frac λ 2(2n+1)$，光程差是半波长的奇数倍：暗条纹：削弱
* 相邻条纹间距：$△x=λ\frac L d$



### 双缝干涉测量光的波长

原理：d:l=λ:△x

* d：双缝距离，已知
* l：挡板与屏之间的距离，刻度尺量
* △x：相邻亮条纹中间的间距，测量头测

> 将单色光从红光变为蓝光，条纹间距将变窄
>
> 将单色光改为白光，屏上会出现中间白→两边红图案（7色光叠加→单色光）



## 薄膜干涉：两次反射

现象：水上油层多色光圈



斜劈干涉：两块玻璃叠加，在右边两玻璃之间垫纸片，左低右高

* 右边垫的高度减小，干涉图样变宽



## 光的衍射

定义：当光照射到小孔或障碍物时，光离开直线传播路径，而绕到孔或障碍物后面阴影里的现象

发生明显衍射现象的条件：障碍物/孔/缝的尺寸比光的波长小，或者与光的波长相差不多

> 缝越窄，衍射越明显，条纹越粗，衍射范围越大；过小，屏上亮度会变暗



光的衍射同样可证明光具有波动性



衍射图像

* 单缝衍射

  * 单色光：明暗相同的不等距条纹，中央亮纹最宽、最亮，两侧条纹具有对称性
  * 白光：中央为宽且亮的白色条纹，两侧是窄且暗的彩色条纹，最靠近中央的是紫光，远离中央的是红光

* 圆孔衍射：明暗相同的不等距圆环，圆环远远超过孔的直线照明的面积
* 圆盘衍射：明暗相同的不等距圆环，中心有一亮斑称为泊松亮斑



## 干涉与衍射的比较

|          | 单缝衍射                   | 双缝干涉               |
| -------- | -------------------------- | ---------------------- |
| 条纹宽度 | 条纹宽度不等，中央条纹最宽 | 条纹宽度相等           |
| 条纹间距 | 相邻条纹间距不等           | 相邻条纹等间距         |
| 亮度     | 中央条纹最亮，两边变暗     | 清晰条纹，亮度基本相同 |

相同点：

* 干涉和衍射都是波特有的现象，属于波的叠加
* 都产生明暗相间的条纹
* 白光照射：彩色条纹，中间均为白色



## 光的偏振&光的颜色和色散

偏振：横波特有现象，在穿过某些介质时，由于振动方向不同，而穿过的能量强度不同的现象

> 偏振现象说明光是横波，能过竖向偏振片，不能过横向的



色散：混合光通过光学现象分成单色光

红→紫，频率↑，折射率↑，**相对原方向，紫光偏转角>红光**，光学显微镜下，红光看不到的东西，紫光容易看到（频率高，波长短，比红光难绕过物体）



红光：折射率小，偏折小：v大，全反射临界角c大

紫光：折射率大，偏折大：v小，全反射临界角c小



## 激光

激光是人工产生的相干光，具有高度的相关性。可以对激光进行调制，用来传递信息，可以比无线电波传递更多信息

激光的平行度非常好。可以传播很远而不分散，所以能保持它的高能量，还可以汇聚到很小的一点。应用：激光雷达；读VCD盘等

激光的量度非常高。可以在很小的空间和很短时间内集中很大的能量。如果把强大的激光束汇聚起来，可使物体被照部分在不到一毫秒时间内产生几千万度的高温。应用：激光手术刀；激光武器等

激光単色性很好。激光的频率范围极窄，颜色几乎是完全一样的



## 黑体

黑体（理想模型）：反射率，透射率为0，吸收率100%

可近似看成黑体的：太阳，灯泡



黑体辐射实验：温度升高

* 各个波长的电磁波辐射强度都有升高

* 辐射最强的波长向左（小）移动 



## 光电效应与光子论

牛顿：微粒说

爱因斯坦：光子

惠更斯：波，麦克斯韦完善

光实际是：波粒二象性，粒子和波都可以描述

### 光电效应

能量子：振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值$\epsilon $的整数倍，带电微粒辐射或吸收能量是以这个最小能量值为单位一份一份机械能的，这个不可再分的最小能量值$\epsilon $叫能量子

公式：$\epsilon=hv$，v：电磁波频率，h：普朗克常量，$h=6.626×10^{-34}J·s$

能量量子化：在微观世界中，能量不能连续变化，只能取某些分立值的现象



光电效应：照射到金属表面的光，能使金属中的电子从表面逸出的现象，称为光电效应。光电效应发射出的电子叫光电子

光电子：光打出的电子

光电流：电子流动形成



存在极限频率$v_c$，电子从金属表面逸出，首先必须克服金属的逸出功$W_0$。要使入射光子的能量不小于$W_0$，对应的极限频率$v_c=\frac{W_0}{h}$

* 光电子的最大初动能随着入射光频率增大而增大，与入射光强度无关
* 光电效应具有瞬时性。光照射金属时，电子吸收一个光子的能量后，动能立即增大，不需要能量累积的过程
* 光较强时饱和电流大。光较强时，包含的光子数较多，照射金属时产生的光电子较多，因而饱和电流较大

光子：在空间传播的光是不连续的，而是一份一份的，每一份叫一个光量子，简称光子。

光子的能量：只取决于频率，即$\epsilon=hv$，v表示光的频率。

金属的逸出功$W_0$：电子脱离某种金属所做功的最小值。不同金属的逸出功不同。

> 知道金属截止频率，判断能否发生光电效应：v=c/λ算出入射光频率，>v的金属能发生光电效应



光电效应方程：$E_k=hν-W_0$，$E_k$为光电子的最大初动能

> $E_k=eU_c$
>
> →$eU_c=hv-W_0$

电场加速：电场力做功Ue=动能变化量△Ek



饱和电流：同种颜色(ν相同)的光，光越强，光子数越多，照射金属时产生的光电子较多，饱和电流较大

遏止电压：刚好没有一个电子打在极板上的电压

截止频率：刚好能发生光电效应的频率，$hν=W_0$



增大光电流的方法：

* 增大光强：光子个数↑，光电子↑，打到金属板上的光电子↑，光电流↑（光强=nhν）
* 金属板加正电吸引更多光电子。增大金属板电压到一定程度，光电流达到上限，这时光电流就是饱和光电流

减小光电流：

* 减小光强
* 金属板加负电，电压大到光电流=0，这时电压是遏止电压。遏止电压=最大初动能/一个电子带电量，$U_c=\frac{E_k}{e}$

### 图像问题

遏止电压-入射光频率$U_c-v$：$U=\frac h e v-\frac{W_0}{e}$，可得到k，b

* 零点：截止频率
* 不同金属k相同，最大初动能不同
* 遏止电压/逸出功↑，入射光频率↑
* 普朗克常量为图像斜率×电子电量：h=ke



光电流-遏止电压I-U图：U<0：排斥光电子，U>0：吸引光电子

* 零点：遏止电压
* U=0时的电流：不加电压时的光电流
* 最大电流：光饱和电流（光子个数多）

* 光频率越高，反向遏制电压越大，最大初动能越大，光子能量越大，频率越高

同光，光强不同时，最大初动能：$E_{km}=eU_c$



最大初动能-频率图像：

* 零点：截止频率
* 斜率：普朗克常熟
* 和y轴交点：$W_0$





### 光子论

每一个光是每一个粒子，一份能量

E=hγ，$h=6.63×10^{-34}J·s$，γ：光的频率，$10^{14}Hz$

E=nE

光强：正比于单位面积，单位时间内接收的光子数

光子动量公式：$P=\frac E C=\frac h λ$

> 频率为v的光子，能量：$hv=h\frac c λ$

### 波粒二象性

光具有波粒二象性

波长越长，波动越明显



# 电磁波

### 麦克斯韦电磁场理论

变化的磁场产生电场

* 均匀变化的磁场产生恒定的电场
* 非均匀变化的磁场产生变化的电场
* 振荡的磁场产生同频率振荡的电场

变化的电场产生磁场

* 均匀变化的电场产生恒定的磁场
* 非均匀变化的电场产生变化的磁场
* 震荡的电场产生同频率振荡的磁场

### 电磁振荡

#### 电磁振荡的产生

振荡电流：大小和方向都做周期性迅速变化的电流

振荡电路：产生振荡电流的电路叫振荡电路。LC电路是一种简单的振荡电路



#### 电磁振荡的周期和频率

电磁振荡的周期和频率只与电路的电容和电感有关，即

$T=2π\sqrt{LC}，\ f=\frac{1}{2π\sqrt{LC}}$

### 电磁波

定义：变化的电场和变化的磁场交替产生，由远及近的传播就形成电磁波

特点：

* 电磁波是横波
* 电磁波的传播不需要介质，在真空中以光速传播
* 传播速度=波长×频率：$v=λf$
* 电磁波具有波的特性，能发生发射、折射、干涉、衍射等



### 电磁波的发射和接收

发射：调制

接收：调谐，检波

#### 电磁波的发射

调制：在电磁波发射技术中，使电磁波随各种信号而改变的技术叫调制

调制的两种方式：

* 调幅（AM）：使高频电磁波的振幅随信号的强弱而变化
* 调频（FM）：使高频电磁波的频率随信号的强弱而变化

#### 电磁波的接收

电谐振：当接收电路的固有频率跟接收到的电磁波的频率相同时，接收电路中产生的振荡电流最强，这种现象叫电谐振

调谐：使接收电路产生电谐振的过程

解调：从接收到的高频电流中还原出所携带的信号的过程。解调是调制的逆过程，调幅波的解调也叫检波



### 电磁波谱

电磁波谱：按电磁波的波长或频率大小的顺序把它们排列成谱



无线电波：主要用于通信、广播、信号传输

红外线：夜视仪、红外摄影、红外遥感

可见光：正常的照明

紫外线：灭菌消毒、荧光作用

X射线：检查金属零件内部的缺陷、检查人体内部器官

γ射线：穿透能力强，用于探测金属部件内部的缺陷；治疗某些癌症



光谱图（频率+，波长-）：无线电波（长，中，短，微波），红外线，可见光红，可见光紫，紫外线，x射线，γ射线（gama）

c=λν



频率↑，能量↑



# 相对论简介

> **原子论**
>
> $E_m-E_n=hγ$
>
> 原子核外电子，外层轨道电子能量>内层轨道电子能量，
>
> * 外层到内层，放射1光子
> * 内层到外层，吸收1光子
>
> 一种能量对应一种颜色的光

> **原子核**
>
> **核反应**
>
> $_{m_1}^{n_1}X→_{m_2}^{n_2}Y+_{m_3}^{n_3}Z$
> 
> $n_1=n_2+n_3$
> 
> $m_1=m_2+m_3$
>
> 衰变：
>
> * α：$_2^4He$
>* β：$_{-1}^0e$
> * γ：γ（？）
>
> > 配平：先配上标，再配下标
>
> 裂变：超大核→中型核，条件：无条件
>
> 聚变：小核→较大核，条件：几百万摄氏度，几百万大气压
> 
> 太阳聚变：$4_1^1H→_2^4He+2 _{-1}^0e+γ（中微子）$

### 狭义相对论

伽利略相对性原理：力学规律在任何惯性系中都是相同的

狭义相对论的两个基本假设

* 在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。这个假设通常称为狭义相对性原理
* 真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的，这个假设叫光速不变原理



### 时间和空间的相对性

长度的相对性（尺缩效应）：假设杆随某一运动系统一起运动，式中l是在底面上的观察者测得的杆的长度，$l_0$是在运动系统中的观察者测得的长度，

$l=l_0\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$，由此式可得，$l<l_0$，就是说，运动系统中的长度变短了



时间的相对性（钟慢效应）：假设两个事件发生在某一运动系统中，式子中△t是在对面上观察者测得的时间，△T是在运动系统中的观察者所测得的时间，

$△t=\frac{△T}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$，由此式可得，△t>△T，就是说，运动系统中的时钟变慢了



### 相对论的其他结论

物体运动时的质量大于静止时的质量。

质能方程：$E=mc^2$（c：光速）



### 广义相对论

广义相对论原理：在任何参考系中（包括非惯性系），物理规律都是相同的

等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价



# 原子结构

汤姆孙：原子是枣糕模型



α粒子（He原子核）散射实验现象：

* 绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进
* 少数发生较大偏转（不是碰撞，是库仑力）
* 极少数偏转超过90°，像被金箔反弹回来

实验：

* 忽略了电子的作用，质量太小
* 用金箔：重，延展性好



卢瑟福核式结构模型：原子中心有一个很小的核，称为原子核，原子全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外空间绕核旋转。



一般原子核核半径数量级：$10^{-15}m$，原子半径的数量级为$10^{-10}m$



波尔：

* 轨道假设
* 能级假设
* 跃迁假设。由内向外能级越高。低能级到高能级：吸收能量。吸收释放能量形式：光子，大小：hv=△E。



## 电子跃迁

第一能级：基态

氢原子基态能量（第1能级）：-13.6eV。



其他能级：激发态。能量：$E=1/n^2$



最外圈能量：0



电子离原子核越近，能量越低。无穷远处，脱离原子核束缚



1电子伏=$1.6×10^-{19}$焦耳,换言之,宇宙射线能量为16焦耳,相当于一块1.6公斤重的石头从1米高的地方砸到脚面上释放出的能量





低到高能级

* 吸收光子：能量必须刚刚好
* 实物粒子：能量>

高到低能级：不稳定，自动往下跳；电磁波（向外辐射）

* 单个：轨道数n-1种跳跃方法
* 大量：n(n-1)/2种跳跃方法



# 原子核

## 放射

天然放射现象：元素自发放出射线的现象。法国物理学家贝克勒尔先发现

放射性：物质发射射线的性质

放射性元素：具有放射性的元素



三种射线：

| 种类         | α射线            | β射线                    | γ射线                    |
| ------------ | ---------------- | ------------------------ | ------------------------ |
| 实质         | 氦核流$_2^4He$   | 高速电子流$_{-1}^0e$     | 光子(电磁波)             |
| 带电量       | +2               | -1                       | 0                        |
| 速度         | 光速的十分之一   | 光速的99%                | 光速                     |
| 在电、磁场中 | 偏转             | 与α射线反向偏转          | 不偏转                   |
| 穿透能力     | 最弱，用纸能挡住 | 较强，穿透几毫米厚的铝板 | 最强，穿透几厘米厚的铅板 |
| 电离作用     | 很强             | 较弱                     | 很弱                     |



α：贯穿本领差，电离本领强



核电荷数Z=质子数=元素原子序数=核外电子数

质量数A=核子数=质子数+中子数



> 三种射线在电场/磁场规律：β易偏（半径小）



## 衰变

原子核的衰变：原子核放出α/β粒子，由于核电荷数改变了，在元素周期表中的位置变了，变成另一种原子核

**类型**：

* α衰变：2个质子和2个中子结合成一个整体射出，$2_1^1H+2_0^1n→_2^4He$
* β衰变：中子转化为质子和电子，$_0^1n→_1^1H+_{-1}^0e$

衰变规律：电荷数守恒，质量数守恒





γ射线经常是伴随α射线、β射线产生的。因为原子核衰变时往往有核能释放，使产生的新核处于高能级，它要由高能级向低能级跃迁，能量以γ光子的形式辐射出来



> A到B经过多少次α和β衰变？
>
> α衰变减质量，次数m=差值/4
>
> β衰变不减质量，次数n=|质子数差值-2m|



衰变轨迹（磁场方向为×）

* α：外切圆（小圆是α）
* β：内切圆（大圆是β）



## 半衰期

半衰期：放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。半衰期具有统计意义，只对大量放射性元素的原子核有意义，对少量或个别原子核没有意义

规律：

* 不同放射性元素的半衰期不同
* 放射性元素衰变的快慢只和原子核内部结构有关，跟原子所处的化学状态和外部条件无关



$N_余=N_原(\frac 1 2)^{\frac t T}$

$m_余=m_原(\frac 1 2)^{\frac t T}$

（$N_原，m_原$表示衰变前的放射性元素的原子数和质量，t：衰变时间，T：半衰期）



## 核能

人工核转变：

* 卢瑟福用α粒子轰击氮原子核，产生质子的核反应方程：$_7^{14}N+_2^4He→_8^{17}O+_1^1H$
* 查德维克发现中子的核反应方程：$_4^9Be+_2^4He→_6^{12}C+_0^1n$
* 居里夫人
  * α粒子轰击铝发现人工放射线同位素
  * 发现正电子


（卢瑟福扯N，查德维克装Be击铝夫人P出正电子）



核力：核子之间的相互作用力。核力是很强的短距离作用力。核力只存在于相邻的核子之间

原子核是核子结合在一起构成的，要把它们分开，也需要能量，这就是原子核的结合能。结合能与核子数之比叫比结合能/平均结合能。**比结合能越大，表示原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定**



核裂变：重核分裂成中等质量的原子核，释放出核能的反应

铀核典型裂变方程：$_{92}^{235}U+_0^1n→_{56}^{144}Ba+_{36}^{89}Kr+3_0^1n$



链式反应：铀核裂变时，同时释放出若干个中子，引起其他铀核的裂变，使裂变反应不断进行下去。发生条件：铀块的体积大于临界体积（裂变物质能够发生链式反应的最小体积）或裂变时的质量大于临界质量。另外有足够数量的慢中子

裂变应用：原子弹和核反应堆



核聚变：两个轻核结合成质量较大的核

典型的核聚变方程：$_1^2H+_1^3H→_2^4He+_0^1n+17.6MeV$

核聚变发生条件：超高温条件下，剧烈的热运动使得一部分原子核具有足够的动能，可以克服库伦斥力，发生核聚变



与裂变相比，核聚变的优点：

* 轻核聚变产能效率高
* 地球上聚变燃料储量丰富
* 轻核聚变更为安全、清洁

实现核聚变的难点：高温。解决方案：磁约束和惯性约束



## 质能方程

核反应方程中，电荷数，质量数守恒。但质量不一定守恒（中子和质子质量数都是1，但质量略有差异）



质能方程：$E=mc^2$（m：kg） 

质量单位1u：碳原子质量的1/12（1u能量=931.5MeV）

能量单位1MeV（兆电子福特）

$1MeV=1.6×10^{-13}J$



## 结合能与比结合能

原子核的核子之间有强大的相互作用力：核力

* 比库仑力大得多
* 短程力，作用范围$1.5×10^{-15}$内（0-0.8是吸引力，0.8-1.5是斥力，因此核子不必融合在一起）



较轻的原子核，质子数中子数大致相等；越重的中子数比质子数越多



结合能：分开原子核中的核子需要的能量。原子核越大，结合能越大。但有意义的事结合能和核子数的比值

比结合能越大，表示原子核中核子结合的越紧，原子核越稳定



> 质量变小释放能量（质能方程）
>
> 比结合能2个低的→1个高的：越稳定，能量越少，所以是释放能量



# 传感器

## 传感器及其工作原理

传感器：将力，声，热，光等信号转化为电信号：电阻/电压/电流



干簧管：

* 结构：玻璃管内封入的两个磁性材料制成的簧片
* 作用：电路中起到开关的作用，磁信号转化成电信号



光敏电阻：

* 结构：用半导体材料制成，比如硫化镉
* 特点：电阻率随光照强度增大而减小



热敏电阻：半导体材料，温度↑，电阻R↓

热电阻：金属材料，温度↑，电阻R↑



霍尔元件：金属导体，磁感应强度→电压。使两板出现霍尔电压$U_H=k\frac{IB}{d}$，d：薄片厚度，k：霍尔系数



## 传感器应用

应变式力传感器：力使物体形变，电阻变化，转换成电信号。原理：形变。金属梁两边贴应变片。外力使梁弯曲，上表面应变片拉伸，电阻增大；下表面应变片压缩，电阻减小。形变越大，阻值变化越大。应变片中电流恒定的情况下，上表面电压变大，下表面电压变小，外力越大，输出的电压差值也越大。

应变片：半导体材料



### 声传感器

动圈式话筒：薄膜振动导致动圈切割永磁体磁场，使导线产生电流

电容式话筒：金属薄膜振动和金属板距离变化，构成电容，Q变化，导致充放电，使固定电阻两端电压改变

驻极体话筒：原理与电容式话筒相同，不同的是Q不变，U变化。只需3-5V电压。电容式需要250V。特点：体积小，重量轻，灵敏度高



温度传感器——电熨斗

* 调温旋钮，升降螺丝，绝缘支架，弹性铜片，触电，双金属片，电热丝，金属底板等组成
* 常温，上下触点分离，通过条纹旋钮，弹性铜片下降，弹性铜片触点接通，电路接通，电热丝发热，可以熨烫衣物。这时双金属片受热膨胀，但双金属片上层金属膨胀系数>下层金属，使双金属片向下弯曲，上下触点脱离，电路断开。由于电路断开，电热丝不再发热，温度降低，双金属片恢复初态，电路又接通加热。双金属片温度传感器作用：开关



电磁开关：白天，太阳照射光敏电阻，R小，I大，B强，吸住电磁继电器，灯电路断开；晚上，光敏电阻R大，I小，B小，放开电磁继电器，灯电路闭合



巨磁电阻：磁场越大，阻值越大



温度传感器——电饭锅

* 结构：接线螺钉，触点，转轴，开关按钮，永磁体，感温磁体，电热板，弹簧，内胆底等
* 主要元件：感温磁体，氧化锰，氧化锌，氧化铁粉末烧成。特点：常温下有磁性，上升到103°时，失去磁性，该温度被称为材料的居里温度



温度传感器——测量仪：温度转化成电信号



光传感器——鼠标：

光传感器——烟雾散射式火灾报警器











































































































































































































































































































 