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Descripción

La población de una comunidad se puede modelar con la fórmula:

$P_{n+1} = f \times P_n \times (1 - P_n)$ :tag:

Donde:

• $P_n \in [0, 1]$ representa el procentaje de la población existente en el año $n$ con respecto al máximo,
• $f \in [0, 4]$ es la constante de fertilidad y representa la tasa de crecimiento de la población.

Comportamiento

Como se verá a continuación, la población presenta un comportamiento diferente dependiendo de la constante de fertilidad $f$.

• Cuando $0 \le f \le 1$ la población eventualmente muere independiente del valor de población inicial $P_0$.
  • En este caso se dice que tiene 0 bifurcación.
• Cuando $1 < f < 2$ la población se estabiliza independiente del valor de población inicial $P_0$.
  • En este caso se dice que tiene 1 bifurcación.
• Para ciertos valores de $f$, la población oscila entre dos valores.
  • En este caso se dice que tiene 2 bifurcaciones.
• Para los valores restantes de $f$, debe determinar el comportamiento de la población y el número de bifurcaciones.

Ejemplos

Caso 1

Dado $f = 2, P_0 = 0.75$

$P_1=2 \times 0.75 \times (1 - 0.75) = 0.375$

$P_2=2 \times 0.375 \times (1 - 0.375) = 0.46875$

$P_3=2 \times 0.46875 \times (1 - 0.46875) = 255/512 \approx 0.49805$

$P_4=2 \times 255/512 \times (1 - 255/512) \approx 0.4999...$

$P_5=2 \times 0.4999... \times (1 - 0.4999...) = 0.4999...$

$P_6=2 \times 0.4999... \times (1 - 0.4999...) = 0.4999...$

En este ejemplo, la población converge al valor de $0.5$ (1 bifurcación), esto se puede ver gráficamente en la siguiente Figura:

Caso 2

Dado $f = 3.2, P_0 = 0.4$

$P_n$	Valor
P0	0.4000
P1	0.7680
P2	0.5702
P3	0.7842
P4	0.5415
P5	0.7945
P6	0.5225
P7	0.7984
P8	0.5151
P9	0.7993
P10	0.5134
P11	0.7994
P12	0.5131
P13	0.7995
P14	0.5131

En este caso, vemos que la población no converge a ningún valor, sino que oscila entre $0.7995$ y $0.5130$ (2 bifurcaciones), esto se puede ver gráficamente en la siguiente Figura:

Objetivos

• Investigue sobre puntos fijos e iteración funcional.

• Determine la expresión matemática del valor al cual converge la población cuando $1 \le f \le 2$.

• Determine el número de bifurcaciones para todos los valores de $f \ge 0$.

• Determine el comportamiento de la población para los valores restantes de $f$ y $P_0$.

• Implemente en Python un programa que modele el comportamiento de la población. Su programa debe:

  • incluir controles de sliders para $f$ y $P_0$,
  • graficar la evolución de la población en función del tiempo,
  • graficar la tasa de bifurcación en función de $f$.