考虑今天是第i天，我必须上班，但是手头又没有任何有效期内的车票了。这个时候我必须买票。假设dp[i]表示我迄今为止已经花费的钱（不包括第i天本身），那么现在我有三种选择：
- 买一日票，那么影响的是第i+1天的状态。假设第i+1天我们需要上班，那么dp[i+1]就有一种解是dp[i]+cost[0];
- 买七日票，那么影响的是第i+7天的状态。假设第i+7天我们需要上班，那么dp[i+7]就有一种解是dp[i]+cost[1];
- 买三十日票，那么影响的是第i+30天的状态。假设第i+30天我们需要上班，那么dp[i+30]就有一种解是dp[i]+cost[2];
所以说，如果我们已知当前状态dp[i]，那么dp[i+1]，dp[i+7]，dp[i+30]都有机会更新自己，并可能取到更小的值。那么有人会问，对于处于有效期中间的dp[j]，我们是否需要更新呢？答案是否。因为那些日子我们并不需要买票。所以，我们需要再次确认我们对于dp数组状态的定义：dp[i]表示第i天，我需要买票，但是手头又没有任何有效期内的票，那么此时我已经花费了多少钱。也就是说，如果第i天我们已经有了有效车票，那么dp[i]就是没有意义的。
于是，问题来了，假设我最后一天（第365天）需要上班，但是手头已经有了一张有效车票。你说dp[365]没有意义，那我怎么结算这一年的车票费用呢？答案是，继续往后追溯，直到找这张车票失效的日期，假设是第370天，那么dp[370]就是你全年的费用（至少是一个解）。
所以dp[i]的关键就是：一定是当前没有任何有效车票。对于任何已经有有效车票的日子，dp没有意义，我们可以往后看，看车票失效的日期，就是我们结算费用的日子。
有了上述的dp定义，我们可以发现最开始的状态转移方程其实是有点问题的。比如说买了七日票，但是第i+7天我们可能并不需要上班啊。所以这张车票其实可以管到你下一个需要上班的早晨，在那个时候进行费用结算，可以变相最大化你的车票有效期。因此遇到这种情况，我们不更新dp[i+7]，然是从第i+7天开始找下一个需要上班的日子，我们更新这个dp[i+7+gapPeriod]。
最后，我们如何从dp里找最终的答案呢？根据上面的定义，车票真正的“实际失效期”一定是在365天之后！（因为最后一张车票一定管到你全年结束，包括你年末不上班） 所以我们在dp[366]到dp[365+30]这些日子找最小值即可。